Mam takie zadanie i nie wiem jak znaleźć tą przestrzeń, bo do tej pory byly to przestrzenie, z ktorych wychodziła macierz kwadratowa
W przestrzeni R ^{5} ze standardowym iloczynem skalarnym
a)wyznacz przestrzeń liniową L rozpiętą przez wektory x=(1,2,0,-1,3), y=(1,1,0,0,1), z=(-1,1,0,-2,3)
b)znajdź dopełnienie ortogonalne tej podprzestrzeni
przetrzeń liniowa rozpięta przez wektory i dopełnienie
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
przetrzeń liniowa rozpięta przez wektory i dopełnienie
Ustawiając dane wektory jako wiersze w macierz można sprowadzić ją do postaci schodkowej. Zobaczymy wtedy że wymiar \(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y,z) = 2}\).
Wektory \(\displaystyle{ (x,y,z}\)) sa liniowe zależne: \(\displaystyle{ 2x = z + 3y}\). Czyli wektory y,z tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y,z)}\) i to jest odpowiedź na punkt a.
b) niech \(\displaystyle{ D(L)}\) - dopełnienie ortogonalne L.
Jeśli \(\displaystyle{ w \in D(L)}\) to
\(\displaystyle{ w \circ y = 0, w \circ z = 0.}\)
Powstanie z tego układ równań który macierzowo wyglada tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} 1&1&0 &0 &1 \\ -1&1&0 & -2 & 3 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)
gdzie \(\displaystyle{ w = \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array}\right]}\)
Ten układ bedzie miał 3 parametry, baza rozwiązań będzie miała 3 elementy i ta baza jest rozwiązaniem punktu b.
Wektory \(\displaystyle{ (x,y,z}\)) sa liniowe zależne: \(\displaystyle{ 2x = z + 3y}\). Czyli wektory y,z tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y,z)}\) i to jest odpowiedź na punkt a.
b) niech \(\displaystyle{ D(L)}\) - dopełnienie ortogonalne L.
Jeśli \(\displaystyle{ w \in D(L)}\) to
\(\displaystyle{ w \circ y = 0, w \circ z = 0.}\)
Powstanie z tego układ równań który macierzowo wyglada tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} 1&1&0 &0 &1 \\ -1&1&0 & -2 & 3 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)
gdzie \(\displaystyle{ w = \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array}\right]}\)
Ten układ bedzie miał 3 parametry, baza rozwiązań będzie miała 3 elementy i ta baza jest rozwiązaniem punktu b.
-
afiw2011
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 31 sty 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: akademik
przetrzeń liniowa rozpięta przez wektory i dopełnienie
Dzięki wielkie:) Czyli wymiar tej drugiej przestrzeni będzie 3? a wiesz może jeszcze jak do tego znaleźć rzut punktu (1,0,0,0,1) na te podprzestrzenie?