diagonalizacja macierzy

MatizMac · Post autor: **MatizMac** » 6 lut 2011, o 12:28

Mam taką macierz: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right]}\)

Obliczyłem jej wartości własne i wyszło mi \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 3 \ \lambda_{2} = 1}\).

Zgodnie z warunkiem dostatecznym do diagonalizowalności powinno być prawdą, że macierz ta jest diagonalizowalna.

No ale liczę, podstawiając lambdy i wychodzi mi w obu przypadkach, że wektorem generującym przestrzeń rozwiązań jest \(\displaystyle{ [0\ \ 1]}\)

Co robię źle?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 6 lut 2011, o 13:06

Wartość własna to \(\displaystyle{ 2,}\) jedyna.

Jaki masz warunek dostateczny na diagonalizacje?

MatizMac · Post autor: **MatizMac** » 6 lut 2011, o 13:35

\(\displaystyle{ (2-\lambda)^{2}-1=0}\) ile to ma miejsc zerowych?
WD: jeśli macierz operatora ma n różnych wartości własnych to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne, a więc istnieje baza złożona z n wektorów, więc operator ten jest diagonalizowalny

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 6 lut 2011, o 13:45

MatizMac pisze:\(\displaystyle{ (2-\lambda)^{2}-1=0}\) ile to ma miejsc zerowych?

To równanie ma dwa rozwiązania, tylko nie wiem po co to liczysz.

patryk007 · Post autor: **patryk007** » 6 lut 2011, o 14:14

Źle liczysz wyznacznik po prostu.

MatizMac pisze: Zgodnie z warunkiem dostatecznym do diagonalizowalności powinno być prawdą, że macierz ta jest diagonalizowalna.

Jaki jest ten warunek dostateczny? Mógłbyś przytoczyć?

MatizMac · Post autor: **MatizMac** » 6 lut 2011, o 14:25

ja... ok, zapomniałem, że 0*1=0

WD:

MatizMac pisze: WD: jeśli macierz operatora ma n różnych wartości własnych to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne, a więc istnieje baza złożona z n wektorów, więc operator ten jest diagonalizowalny

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 8 lut 2011, o 16:03

MatizMac pisze:WD: jeśli macierz operatora ma n różnych wartości własnych to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne, a więc istnieje baza złożona z n wektorów, więc operator ten jest diagonalizowalny

Czy na pewno to jest warunek dostateczny? Nie brakuje żadnego założenia? Macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0\\2&3\end{array}\right]}\) spełnia te założenia ale wydaje mi się, że nie jest diagonalizowalna.