liczba rozwiązań układu równań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
aniaa91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 4 lut 2011, o 17:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

liczba rozwiązań układu równań

Post autor: aniaa91 »

O układzie równań liniowych :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ax+by+cz=3\\dx+ey+fz=1\\x+y+z=1 \end{array}}\)
wiadomo że ma więcej niż jedno rozwiązanie oraz że zachodzi związek \(\displaystyle{ a(e-f)=d(b-c)}\).
Co można powiedzieć o liczbie rozwiązań układu :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} bx+cz=3\\ex+fz=1\\dy+az=1 \end{array}}\)
nie rozwiązując tych układów.
pomóżcie bo utknęłam w martwym punkcie...
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

liczba rozwiązań układu równań

Post autor: tometomek91 »

"wiadomo że ma więcej niż jedno rozwiązanie", więc
\(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\1&1&1\end{array}\right]=ae+dc+bf-ce-fa-bd=0}\)
z warunku mamy, że \(\displaystyle{ ae+dc-fa-bd=0}\), czyli musi być \(\displaystyle{ bf-ce=0}\).
Z drugiego układu jest:
\(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{ccc}b&0&c\\e&0&f\\0&d&a\end{array}\right]=edc-fdb=-d(bf-ce)=-d \cdot 0=0}\)
zatem ten układ równiez ma więcej niż jedno rozwiązanie.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

liczba rozwiązań układu równań

Post autor: Adifek »

Mijasz się z prawdą. To, że wyznacznik jest równy zeru może oznaczać, że układ jest sprzeczny. I rzeczywiście po rozpatrzeniu wszystkich przypadków, okazuje się, że w jednym układ jest sprzeczny, a w pozostałych mamy nieskończenie wiele rozwiązań. Na egzaminie to zadanie mi zajęło prawie całą stronę, więc nie jest takie trywialne
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

liczba rozwiązań układu równań

Post autor: tometomek91 »

dzięki za uwagę, przemyślę na pewno..
ODPOWIEDZ