Witam,
chciałbym prosić o sprawdzenie mojego rozumowania przekształceń liniowych na wybranych przykładach.
1.Sprawdź czy przekształcenie jest liniowe:
\(\displaystyle{ T: R ^{2} \rightarrow R ^{2} \ , \ T\left( x _{1}, \ x _{2} \right)=\left( 2x _{1}, \ x _{1} \ - \ x _{2} \right)}\)
i mój pomysł na rozwiązanie:
\(\displaystyle{ v=\left( x _{1}, \ x _{2} \right) , \ u=\left( y _{1}, \ y _{2} \right) \\
T\left( \alpha v \ + \ \beta u\right)=\left( 2 \alpha _{1} +2 \beta y _{1}, \ \alpha x _{2} \ - \ y _{2} \right) = \left( 2 \alpha x _{1}+2 \beta y _{1}, \ \alpha \left( x _{1}-x _{2} \right)+\beta\left( y _{1}-y _{2} \right) \right)= \\ = \alpha \left( 2 x _{1}, \ x _{1}-x _{2} \right)+ \beta \left( 2y _{1}, \ y _{1}-y _{2}\right)}\)
I odpowiedź: To przekształcenie jest liniowe.
Dobrze?
Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie
-
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 61 razy
Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie
Niech \(\displaystyle{ v,u \in T}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{K}}\).
\(\displaystyle{ v=(v_1,v_2), u=(u_1,u_2)}\)
Aby przekształcenie było liniowe należy pokazać, że zachodzi:
(1) \(\displaystyle{ T(v+u)=T(v)+T(u)}\)
(2) \(\displaystyle{ T(\alpha v)= \alpha T(v)}\)
ad. (1)
\(\displaystyle{ T(v+u)=T(v_1+u_1,v_2+u_2)=(2(v_1+u_1),(v_1+u_1)-(v_2+u_2))=}\)
\(\displaystyle{ =(2v_1+2u_1,v_1-v_2+u_1-u_2)=(2v_1,v_1-v_2)+(2u_1,u_1-u_2)=T(v)+T(u)}\)
ad. (2)
\(\displaystyle{ T(\alpha v)=T(\alpha v_1,\alpha v_2)=(2\alpha v_1,\alpha v_1-\alpha v_2)=\alpha (2v_1,v_1-v_2)=\alpha T(v)}\)
Zatem przekształcenie jest liniowe.
\(\displaystyle{ v=(v_1,v_2), u=(u_1,u_2)}\)
Aby przekształcenie było liniowe należy pokazać, że zachodzi:
(1) \(\displaystyle{ T(v+u)=T(v)+T(u)}\)
(2) \(\displaystyle{ T(\alpha v)= \alpha T(v)}\)
ad. (1)
\(\displaystyle{ T(v+u)=T(v_1+u_1,v_2+u_2)=(2(v_1+u_1),(v_1+u_1)-(v_2+u_2))=}\)
\(\displaystyle{ =(2v_1+2u_1,v_1-v_2+u_1-u_2)=(2v_1,v_1-v_2)+(2u_1,u_1-u_2)=T(v)+T(u)}\)
ad. (2)
\(\displaystyle{ T(\alpha v)=T(\alpha v_1,\alpha v_2)=(2\alpha v_1,\alpha v_1-\alpha v_2)=\alpha (2v_1,v_1-v_2)=\alpha T(v)}\)
Zatem przekształcenie jest liniowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sty 2011, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 1 raz
Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie
Czyli dobrze rozumiem bo te dwa warunki "spakowałem" w jeden \(\displaystyle{ T\left( \alpha v \ + \ \beta u\right)}\)Aby przekształcenie było liniowe należy pokazać, że zachodzi:
(1) \(\displaystyle{ T(v+u)=T(v)+T(u)}\)
(2) \(\displaystyle{ T(\alpha v)= \alpha T(v)}\)
Jeszcze mam prośbę, żeby wytłumaczyć mi poniższe 3 przykłady:
1. \(\displaystyle{ T:M _{2x2} \rightarrow R, \ T\left( A\right)=detA}\)
2. \(\displaystyle{ T:M _{2x2} \rightarrow M _{2x4}, \ T\left( A\right)=A \cdot B, \ gdzie \ B \in M _{2x4}}\)
3. \(\displaystyle{ T:W _{2} \rightarrow W _{2}, \ T\left( a _{0} + a _{1} x +a _{2}x^{2} \right)=\left( a _{0} + a_{1} +a _{2} \right) +\left( a _{1}+a _{2} \right)x+a _{2}x^{2}}\)