Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Marys91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sty 2011, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Post autor: Marys91 »

Witam,
chciałbym prosić o sprawdzenie mojego rozumowania przekształceń liniowych na wybranych przykładach.

1.Sprawdź czy przekształcenie jest liniowe:
\(\displaystyle{ T: R ^{2} \rightarrow R ^{2} \ , \ T\left( x _{1}, \ x _{2} \right)=\left( 2x _{1}, \ x _{1} \ - \ x _{2} \right)}\)

i mój pomysł na rozwiązanie:
\(\displaystyle{ v=\left( x _{1}, \ x _{2} \right) , \ u=\left( y _{1}, \ y _{2} \right) \\
T\left( \alpha v \ + \ \beta u\right)=\left( 2 \alpha _{1} +2 \beta y _{1}, \ \alpha x _{2} \ - \ y _{2} \right) = \left( 2 \alpha x _{1}+2 \beta y _{1}, \ \alpha \left( x _{1}-x _{2} \right)+\beta\left( y _{1}-y _{2} \right) \right)= \\ = \alpha \left( 2 x _{1}, \ x _{1}-x _{2} \right)+ \beta \left( 2y _{1}, \ y _{1}-y _{2}\right)}\)


I odpowiedź: To przekształcenie jest liniowe.

Dobrze?
aniaa91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 4 lut 2011, o 17:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Post autor: aniaa91 »

czy przekształcenie jest liniowe? chyba liniowo niezależne? wg mnie dobrze. ale nie jestem zbyt wiarygodna:)
?ntegral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 61 razy

Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Post autor: ?ntegral »

Niech \(\displaystyle{ v,u \in T}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{K}}\).

\(\displaystyle{ v=(v_1,v_2), u=(u_1,u_2)}\)

Aby przekształcenie było liniowe należy pokazać, że zachodzi:

(1) \(\displaystyle{ T(v+u)=T(v)+T(u)}\)

(2) \(\displaystyle{ T(\alpha v)= \alpha T(v)}\)

ad. (1)

\(\displaystyle{ T(v+u)=T(v_1+u_1,v_2+u_2)=(2(v_1+u_1),(v_1+u_1)-(v_2+u_2))=}\)

\(\displaystyle{ =(2v_1+2u_1,v_1-v_2+u_1-u_2)=(2v_1,v_1-v_2)+(2u_1,u_1-u_2)=T(v)+T(u)}\)

ad. (2)

\(\displaystyle{ T(\alpha v)=T(\alpha v_1,\alpha v_2)=(2\alpha v_1,\alpha v_1-\alpha v_2)=\alpha (2v_1,v_1-v_2)=\alpha T(v)}\)

Zatem przekształcenie jest liniowe.
Marys91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sty 2011, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Post autor: Marys91 »

Aby przekształcenie było liniowe należy pokazać, że zachodzi:

(1) \(\displaystyle{ T(v+u)=T(v)+T(u)}\)

(2) \(\displaystyle{ T(\alpha v)= \alpha T(v)}\)
Czyli dobrze rozumiem bo te dwa warunki "spakowałem" w jeden \(\displaystyle{ T\left( \alpha v \ + \ \beta u\right)}\)

Jeszcze mam prośbę, żeby wytłumaczyć mi poniższe 3 przykłady:

1. \(\displaystyle{ T:M _{2x2} \rightarrow R, \ T\left( A\right)=detA}\)
2. \(\displaystyle{ T:M _{2x2} \rightarrow M _{2x4}, \ T\left( A\right)=A \cdot B, \ gdzie \ B \in M _{2x4}}\)
3. \(\displaystyle{ T:W _{2} \rightarrow W _{2}, \ T\left( a _{0} + a _{1} x +a _{2}x^{2} \right)=\left( a _{0} + a_{1} +a _{2} \right) +\left( a _{1}+a _{2} \right)x+a _{2}x^{2}}\)
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Post autor: rtuszyns »

Po prostu sprawdź warunki i zobaczysz...
Marys91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sty 2011, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Odwzorwanie liniowe - sprawdzenie

Post autor: Marys91 »

Dobra a jak sprawdzić warunki w 2 z tymi macierzami?
ODPOWIEDZ