Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni
Niech \(\displaystyle{ \vec{a} , \vec{b}}\) będą prostopadłymi wersorami oraz \(\displaystyle{ \vec{p} = \vec{a} -3 \vec{b}, \ \vec{r} =2 \vec{a} + \vec{b}}\). Czy wektory \(\displaystyle{ \vec{p} , \vec{r}}\) są liniowo zależne?
Ostatnio zmieniony 3 lut 2011, o 09:50 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenie umieszczaj w tagach[latex].
Powód: Całe wyrażenie umieszczaj w tagach
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Wektory w przestrzeni
Policz wyznacznik
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&-3\\2&1\end{array}\right|.}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&-3\\2&1\end{array}\right|.}\)
Wektory w przestrzeni
Ok, wyszło mi 7. W tym zadaniu chodzi o to, żeby skorzystać z równań liniowych, stąd się wzięła ta macierz?
Co wynika z tego 7?
Co wynika z tego 7?
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Wektory w przestrzeni
Wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są postaci
\(\displaystyle{ \vec{p}=\vec{a}-3\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{r}=2\vec{a}+\vec{b}}\)
zapisując w postaci macierzowej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \vec{p}\\\vec{r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{a}\\\vec{b}\end{bmatrix}.}\)
Policzyliśmy wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}}\)
i jest on różny od zera czyli istnieje macierz odwrotna zatem
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \vec{p}\\\vec{r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vec{a}\\\vec{b}\end{bmatrix}.}\)
Stąd wektory \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są kombincjami liniowymi wektorów \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) czyli \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) rozpinają przestrzeń, która jest rozpięta przez \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}.}\)
Przestrzeń rozpięta przez \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) jest dwuwymiarowa (\(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są lin. niezal.) zatem \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są lin. niezal.
\(\displaystyle{ \vec{p}=\vec{a}-3\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{r}=2\vec{a}+\vec{b}}\)
zapisując w postaci macierzowej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \vec{p}\\\vec{r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{a}\\\vec{b}\end{bmatrix}.}\)
Policzyliśmy wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}}\)
i jest on różny od zera czyli istnieje macierz odwrotna zatem
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \vec{p}\\\vec{r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vec{a}\\\vec{b}\end{bmatrix}.}\)
Stąd wektory \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są kombincjami liniowymi wektorów \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) czyli \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) rozpinają przestrzeń, która jest rozpięta przez \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}.}\)
Przestrzeń rozpięta przez \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) jest dwuwymiarowa (\(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są lin. niezal.) zatem \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są lin. niezal.
Wektory w przestrzeni
Z tego wynika, że jeśli macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać tego układu, to wtedy wektory są liniowo niezależne?
Jeśli tak, to już rozumiem to zadanie
Jeśli tak, to już rozumiem to zadanie
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Wektory w przestrzeni
Jeżeli macierz odwrotna istnieje (!!!) to odpowiednie wektory są liniowo niezależne.
To rozumowanie, które przedstawiłem wcześniej jest poprawne ale napisze jeszcze jedno. Myślę, że będzie bardziej zrozumiałe.
Pokażemy, że wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są liniowo niezależne. Szukamy \(\displaystyle{ t_1,\ t_2}\) takich, że
\(\displaystyle{ t_1 \vec{p}+t_2 \vec{r}=0.}\)
Po rozpisaniu równania mamy
\(\displaystyle{ (t_1+2t_2)\vec{a}+(-3t_1+t_2)\vec{b}=0}\)
ale \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są liniowo niezależne czyli musi być
\(\displaystyle{ t_1+2t_2=0}\) oraz \(\displaystyle{ -3t_1+t_2=0.}\)
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy, że \(\displaystyle{ t_1=t_2=0}\) stąd wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są liniowo niezależne.
Jakiego układu nie da się rozwiązać?eweluian pisze:Z tego wynika, że jeśli macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać tego układu, to wtedy wektory są liniowo niezależne?
To rozumowanie, które przedstawiłem wcześniej jest poprawne ale napisze jeszcze jedno. Myślę, że będzie bardziej zrozumiałe.
Pokażemy, że wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są liniowo niezależne. Szukamy \(\displaystyle{ t_1,\ t_2}\) takich, że
\(\displaystyle{ t_1 \vec{p}+t_2 \vec{r}=0.}\)
Po rozpisaniu równania mamy
\(\displaystyle{ (t_1+2t_2)\vec{a}+(-3t_1+t_2)\vec{b}=0}\)
ale \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są liniowo niezależne czyli musi być
\(\displaystyle{ t_1+2t_2=0}\) oraz \(\displaystyle{ -3t_1+t_2=0.}\)
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy, że \(\displaystyle{ t_1=t_2=0}\) stąd wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są liniowo niezależne.