Wektory w przestrzeni

[eweluian]

Niech \(\displaystyle{ \vec{a} , \vec{b}}\) będą prostopadłymi wersorami oraz \(\displaystyle{ \vec{p} = \vec{a} -3 \vec{b}, \ \vec{r} =2 \vec{a} + \vec{b}}\). Czy wektory \(\displaystyle{ \vec{p} , \vec{r}}\) są liniowo zależne?

[fon_nojman]

Policz wyznacznik
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&-3\\2&1\end{array}\right|.}\)

[eweluian]

Ok, wyszło mi 7. W tym zadaniu chodzi o to, żeby skorzystać z równań liniowych, stąd się wzięła ta macierz?

Co wynika z tego 7?

[fon_nojman]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są postaci
\(\displaystyle{ \vec{p}=\vec{a}-3\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{r}=2\vec{a}+\vec{b}}\)
zapisując w postaci macierzowej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \vec{p}\\\vec{r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{a}\\\vec{b}\end{bmatrix}.}\)

Policzyliśmy wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}}\)
i jest on różny od zera czyli istnieje macierz odwrotna zatem
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} \vec{p}\\\vec{r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vec{a}\\\vec{b}\end{bmatrix}.}\)

Stąd wektory \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są kombincjami liniowymi wektorów \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) czyli \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) rozpinają przestrzeń, która jest rozpięta przez \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}.}\)

Przestrzeń rozpięta przez \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) jest dwuwymiarowa (\(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są lin. niezal.) zatem \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są lin. niezal.

[eweluian]

Z tego wynika, że jeśli macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać tego układu, to wtedy wektory są liniowo niezależne?

Jeśli tak, to już rozumiem to zadanie

[fon_nojman]

Jeżeli macierz odwrotna istnieje (!!!) to odpowiednie wektory są liniowo niezależne.

Z tego wynika, że jeśli macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać tego układu, to wtedy wektory są liniowo niezależne?

Jakiego układu nie da się rozwiązać?

To rozumowanie, które przedstawiłem wcześniej jest poprawne ale napisze jeszcze jedno. Myślę, że będzie bardziej zrozumiałe.

Pokażemy, że wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są liniowo niezależne. Szukamy \(\displaystyle{ t_1,\ t_2}\) takich, że

\(\displaystyle{ t_1 \vec{p}+t_2 \vec{r}=0.}\)

Po rozpisaniu równania mamy

\(\displaystyle{ (t_1+2t_2)\vec{a}+(-3t_1+t_2)\vec{b}=0}\)

ale \(\displaystyle{ \vec{a},\ \vec{b}}\) są liniowo niezależne czyli musi być

\(\displaystyle{ t_1+2t_2=0}\) oraz \(\displaystyle{ -3t_1+t_2=0.}\)

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy, że \(\displaystyle{ t_1=t_2=0}\) stąd wektory \(\displaystyle{ \vec{p},\ \vec{r}}\) są liniowo niezależne.

[eweluian]

Aha, dziękuję bardzo, to rzeczywiście bardziej do mnie przemówiło