Znaleźć bazę i rozszerzyć

[patryk007]

\(\displaystyle{ M^\mathcal{B}_\mathcal{B}(F)=\begin{bmatrix}2&1&-1&-2&1 \\ 1&1&-1&-1&1 \\ 1&2&-2&-1&2 \\ 2&1&-1&-2&1 \\ 1&1&-1&-1&1\end{bmatrix}}\)

Znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ \ker{(F)}}\) i \(\displaystyle{ Im(F)}\) i rozszerzyć ją do bazy \(\displaystyle{ \ker{F}}\).

_

1. Jądro to zbiór wektorów, które przechodzą na \(\displaystyle{ 0}\), a więc rozwiązuję układ równań zapisany w tej macierzy i wykonując operacje elementarne na wierszach (mogę tak, nie?) dochodzę do tego, że większość wierszy jest liniowo zależna, zostaje po przekształceniach tylko jeden wiersz: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&-1&1 \end{bmatrix}}\).
Więc zapisuję rozwiązania tego równania zapisanego w macierzy i mam, że \(\displaystyle{ \ker{F}=\mathcal{L}(\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\end{bmatrix} \end{bmatrix})}\)

Czy do tej pory jest dobrze?

2. Jeśli tak to teraz obraz. Obraz to \(\displaystyle{ \mathcal{L}(F(\mathcal{B}))}\). No właśnie. I jak taki obraz odczytać z macierzy przekształcenia? Czy to są kolumny liniowo niezależne z \(\displaystyle{ M^\mathcal{B}_\mathcal{B}(F)}\)?

3. Jeśli już będę miał jądro i obraz i czarodziejskim sposobem otrzymam ich iloczyn to rozszerzanie do bazy kernela polega na dopisaniu macierzy jednostkowej do macierzy z iloczynem przestrzeni, przekształceniu i wybraniu odpowiednich kolumn z wektorami, która trza dodać?


Z góry dzięki za odpowiedzi.

[kelu]

W jaki sposób masz tu tylko jeden wiersz: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&-1&1 \end{bmatrix}}\).
Jak dla mnie to jeszcze \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-2&-1&2 \end{bmatrix}}\)