Zbadac, czy zbiór stanowi baze przestrzeni liniowej

[esem]

Witam. Mam problem z zadaniami:

1)
Zbadac, czy zbiór \(\displaystyle{ B=\left\{ x+1, x ^{2}+1, x ^{2}+2x+2 \right\}}\) stanowi baze przestrzeni wektorowej R2[x] ; tzn. przestrzeni wektorowej wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego lub równego dwa.

2)
Znalezc wymiar i wyznaczyc baze przestrzeni wektorowej rozwiazan jednorodnego układu równan liniowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - y + 2z - t = 0\\
2x - y + z + 3t = 0
\end{cases}}\)
Z góry dzięki za pomoc.

[scyth]

1) Sprawdź, czy dowolny wielomian z przestrzeni można zapisać za pomocą kombinacji liniowej wektorów z bazy, czyli:
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c=\alpha (x+1) + \beta (x^2+1) + \gamma (x^2+2x+2)}\)
i spróbuj wyrazić \(\displaystyle{ a, \ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) za pomocą \(\displaystyle{ \alpha , \ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\).
Ewentualnie, ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ 1, \ x, \ x^2}\) jest bazą tej przestrzeni, sprawdź czy możesz znaleźć przekształcenie bazy \(\displaystyle{ B}\) na standardową.

2) Masz dwa równania, więc wymiar przestrzeni będzie równy 2 (znajdź niezerowy minor). Potem tylko rozwiąż traktując niektóre zmienne jako parametry.

[cihex]

Mam pytanie, czy uklad 4 wektorów może być bazą w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ?
Dokładnie zadanie wygląda tak:
Niech macierz V będzie przestrzenią liniową n wymiarową dimV = n.
Podaj definicję bazy takiej przestrzeni liniowej.
Zbadaj Czy układ
\(\displaystyle{ B = \left\{ (1,0,1), (1,2,2), (0,1,1), (2,3,4)\right\}}\)
Jest bazą w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

--------------
Ja zrobiłęm to tak:
Bazą przestrzeni liniowej V n -wymiarowej (dim V = n) jest zbiór wektorów
\(\displaystyle{ X _{1} (x _{1} , x _{2} ... x _{n}), X _{2} (x _{1} , x _{2} ... x _{n}) ... X _{m} (x _{1} , x _{2} ... x _{n})}\)
liniowo niezależnych.

I dalej żeby obliczyć liniowa niezależność trzeba pomnożyć przez dowolny skalry więc
\(\displaystyle{ \alpha _{1} (1,0,1) + \alpha _{2} (1,2,2) + \alpha _{3} (0,1,1) + \alpha _{4} (2,3,4) = (0,0,0)}\)

Wyszły mi 3 równania i 4 niewiadome, czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań... więć co z tego wynika?

[lestkievich]

Nie możliwe,że \(\displaystyle{ R^3}\) baza składa się z 4 wektorów.

-- 1 mar 2012, o 13:04 --

Podprzestrzeń przestrzeni wymiaru \(\displaystyle{ n}\) nie może mieć większy wymiar.

[cihex]

No i wszystko jasne... banalnie proste zadanie, bez podstawowej wiedzy zawsze będzie trudne.
Dzięki,