Udowodnić liniową niezależność

[fala21]

Mam problem z takim zadaniem:

Wykaż, że wektory \(\displaystyle{ \alpha , \beta ,\gamma}\) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy wektory \(\displaystyle{ \alpha + \beta , \beta + \gamma, \gamma + \alpha}\) są liniowo niezależne.
Z góry dzięki za pomoc.

[sebnorth]

Pokaże w jedną stronę.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \{ \alpha + \beta , \beta + \gamma, \gamma + \alpha \}}\) są liniowo zależne.
Wówczas istnieją \(\displaystyle{ p,q,r}\)nie wszystkie równe \(\displaystyle{ 0}\) (*) takie, że

\(\displaystyle{ p(\alpha + \beta) + q(\beta + \gamma) + r( \gamma + \alpha) = \Theta}\) (wektor zerowy)

Czyli

\(\displaystyle{ (p+r)\alpha + (p+q)\beta + (q+r)\gamma = 0.}\) (**)

Gdyby
\(\displaystyle{ \begin{cases} p + q = 0 \\ q+ r =0 \\ r +p = 0\end{cases}}\)

to rozwiązując ten układ dostalibyśmy \(\displaystyle{ p=q=r=0}\)(wbrew (*). To oznacza, że

istnieje nietrywialna kombinacja liniowa (**) czyli, że \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są zależne.

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Sprawdzamy liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ \alpha + \beta , \beta + \gamma, \gamma + \alpha}\), dla dowolnych współczynników \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\) z ciała (zwykle oznaczane literami grackimi) mamy:
\(\displaystyle{ a_1(\alpha + \beta)+ a_2(\beta + \gamma)+a_3( \gamma + \alpha)=\alpha(a_1+a_3)+\beta(a_1+a_2)+\gamma(a_2+a_3)=\theta}\)
z założenia jest
\(\displaystyle{ a_1+a_3=a_1+a_2=a_2+a_3=0 \Rightarrow a_1=a_2=a_3=0}\)