Przekształcenia liniowe - 2 zadania

[Ashiren]

1. Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^2\rightarrow R^2}\) takie, że \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{ccc}2\\3\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}1\\-1\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{ccc}4\\-1\end{array}\right]}\). (a) Obliczyć \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}3\\3\end{array}\right]\right)}\). (b) Obliczyć \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right]\right)}\), \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}0\\1\end{array}\right]\right)}\) i \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]\right)}\).

Nie wiem jak się za to zabrać. Przeszukałem forum i znalazłem podobny temat. Czy tamta metoda pomoże mi w tym zadaniu?

2. Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^4\rightarrow R^3}\), gdzie T(x,y,z,t) = (x-2y+z+t, 2x-5y+z+3t, x-3y+2t) dla (x,y,z,t) \(\displaystyle{ \in R^4}\). (a) Wyznaczyć jądro KerT i jego bazę. (b) Wyznaczyć bazę obrazu ImT. (c) Czy wektor (1,0,1) należy to ImT?

Tutaj napisałem kolumnowo \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&0\\-2&-5&-3&0\\1&1&0&0\\1&3&2&0\end{bmatrix}}\), po obliczeniach wyszło \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}\) (niektóre wiersze były proporcjonalne/wyzerowały się), tylko nie wiem co z tym fantem dalej zrobić. Czy to oznacza, że KerT={0,0,0} a baza = 0? Jestem na dobrym tropie?

[Milman]

Co do pierwszego to tutaj rozwiązywałem podobne zadanie.
viewtopic.php?f=32&t=235579.
Najlepiej jak policzysz zależne od x i y wtedy wystarczy, że do pozostałych podstawisz odpowiednie x i y.
Co do drugiego to z tego co pamiętam to nie można usuwać wierszy macierzy, możesz jedynie je przestawiać. A \(\displaystyle{ KerT=\left\{ v \in V|F(v)=0\right\}}\)

[Ashiren]

1. Zrobiłem \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\3\end{bmatrix} = a \cdot \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} + b \cdot \begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix}}\), co mi wyszło, że a = 3 i b = 0. A więc \(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc}3\\3\end{array}\right]\right) = \begin{bmatrix} 6\\9\end{bmatrix}}\). Czy dobrze? Bo jeśli tak to inne przykłady powinny pójść tak samo

Drugiego nadal nie rozumiem.

[Milman]

W szukaniu jądra musisz stworzyć układ równań, taki że składowe wektora z \(\displaystyle{ R^{3}}\) przyrównujesz do 0. To co Ci wyjdzie podstawiasz do wektora (x,y,z,t) i wtedy wyłączasz x,y,z,t przed wektory i wychodzą Ci wektory bazowe dla \(\displaystyle{ KerT}\). na końcu należy sprawdzić ich liniową niezależność.

[slodkaanulka]

Dane jest przekształcenie liniowe F:R4->R3 i jego macierz w bazach A={e1, e2, e3, e4} - baza kanoniczna przestrzeni R4 oraz B={v1=(1,1,0), v2=(0,1,-1), v3=(0,0,2)}:
0 2 3 1
MBA= 1 1 0 0
2 0 1 0
Wtedy
F((2,1,-1,2))=[ ], [ ],[ ] ?
Totalnie nie wiem jak się zabrać za to zadanie, może ktoś mnie naprowadzić ?