przeksztalcenie liniowe

[Diego_12]

Dane jest przekształcenie liniowe T: \(\displaystyle{ R ^2 \rightarrow R ^3}\) takie, że T(3,4) = (3,5,7), T(4,5) = (4,7,9). Znaleźć wzór na \(\displaystyle{ T(x _{1},x _{2}}\)) dla dowolnych \(\displaystyle{ x _1, x _2}\) na leżącą do R

w ogóle nie wiem co z tym zrobić, jakaś podpowiedź mile widziana

[Milman]

Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ B={\begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4\\5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=\begin{bmatrix} 3\\5\\7\end{bmatrix}, w_{2}=\begin{bmatrix} 4\\7\\9\end{bmatrix}}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}=a \cdot \begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}+b \cdot \begin{bmatrix} 4\\5\end{bmatrix}}\)
Wyliczasz teraz a i b w zależności od \(\displaystyle{ x_{1} i x_{2}}\) z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+4b=x_{1}\\4a+5b=x_{2} \end{cases}}\)
Później podstawiasz za a i b do wzoru \(\displaystyle{ f\left( \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}\right)=a \cdot \begin{bmatrix} 3\\5\\7\end{bmatrix}+b \cdot \begin{bmatrix} 4\\7\\9\end{bmatrix}}\)
i wychodzi Ci wektor o trzech składowych zależny od \(\displaystyle{ x_{1} i x_{2}}\).

[Diego_12]

czyli po wymnożeniu tego\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+4b=x_{1}\\4a+5b=x_{2} \end{cases}}\)
dostaje coś takiego\(\displaystyle{ a=\frac{17}{3} x_{1} +12 x_{2} , b=-4x _{1} -3x _{2}}\)

i później wymnażam to z tym
\(\displaystyle{ a \cdot \begin{bmatrix} 3\\5\\7\end{bmatrix}+b \cdot \begin{bmatrix} 4\\7\\9\end{bmatrix}}\)

to dobrze rozumuję bo mi wychodzą jakieś dziwne wyniki

[Milman]

Dobrze rozumujesz.-- 30 sty 2011, o 12:58 --Ogólnie korzystamy tu z faktu, że \(\displaystyle{ \forall v\in V \ f\left( v\right)= \sum_{i}^{} \alpha _{i}w_{i}}\)