zad.1 Napisz równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \pi}\) zawiera prostą
\(\displaystyle{ l _{1}: \begin{cases} x=4t-1 \\ y=-3t-1 \\ z=t \end{cases}}\) \(\displaystyle{ t \in R}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ l _{2}: \begin{cases} x=4t-2 \\ y=3t+3 \\ z=2t \end{cases}}\) \(\displaystyle{ t \in R}\)
W moim toku rozumowania rozwiązałem ten przykład w następujący sposób:
-prosta \(\displaystyle{ l_{1}}\) zawarta jest w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) więc tzn. że jest do niej równoległa, natomiast prosta \(\displaystyle{ l_{2}}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) więc również jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
Zatem:
z \(\displaystyle{ l_{1}}\) mamy wektor do tej prostej równoległy czyli równocześnie równoległy do szukanej płaszczyzny: \(\displaystyle{ \vec{a}=[4,-3,1]}\) oraz punkt P(-1,-1,0) jednocześnie z prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\) mamy wektor \(\displaystyle{ \vec{b}=[4,3,2]}\) drugiego punktu nie musimy wyliczać bo do obliczenia płaszczyzny potrzebny nam jest tylko jeden.
Mając dwa wektory równoległe do szukanej płaszczyzny możemy z iloczyny wektorowego obliczyć trzeci wektor prostopadły do płaszczyzny (wektor normalny tej płaszczyzny). W tym przypadku będzie to wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=[-9,-4,24]}\)
Gdy już mamy wszystkie potrzebne dane to przechodzimy do obliczenia równania ogólnego płaszczyzny:
1. Obliczamy iloczyn skalarny wektora \(\displaystyle{ \vec{PP _{0}}}\) gdzie\(\displaystyle{ P_{0}}\) dowolny punkt o współrzędnych (x,y,z) oraz wektora \(\displaystyle{ \vec{n}=[-9,-4,24]}\)
\(\displaystyle{ \vec{ PP _{0}} \cdot o \vec{n}=-9x-4y+24z-13}\)
odp. Równanie ogólne tej płaszczyzny to: \(\displaystyle{ \pi : -9x-4y+24z-13=0}\)
Chciałbym wiedzieć czy to zadanie jest dobrze rozwiązane. Z góry dzięki za odpowiedź.