układy równań z twierdzenia Kroneckera-Capeliego

[magda2291]

witam
mógłby mi ktoś wytłumaczyć na czym polega ta metoda i jak za jej pomocą można rozwiązywać układy równań, bo czytam różne ksiązki, w których to niby tłumaczą i nic nie rozumiem.. ;/

Weźmy, np. taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x-3y+4t=2 \\-2x+y-2z-t=1\\-2y-2z+3t=3 \end{cases}}\)

wiem, że na początku trzeba wyznaczyć rząd macierzy głównej i potem tej rozszerzonej i jeżeli są równe, to trzeba robić coś dalej, ale ja właśnie tego dalszego kroku nie pojmuję...
Będę wdzięczna

[rtuszyns]

Mamy macierz układu \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}
2&3&0&4\\
-2&1&-2&-1\\
-2&-2&0&3
\end{array}\right]}\)

Mamy macierz rozszerzoną \(\displaystyle{ U=\left[\begin{array}{cccc|c}
2&3&0&4&2\\
-2&1&-2&-1&1\\
-2&-2&0&3&3
\end{array}\right]}\)

1. Znajdujemy rząd macierzy układu i macierzy rozszerzonej:
\(\displaystyle{ {\rm rz}A=3}\)

\(\displaystyle{ {\rm rz}U=3}\)

Zatem: \(\displaystyle{ r=3}\)
Mamy \(\displaystyle{ n=4}\) niewiadome i \(\displaystyle{ 3}\) równania.

2. Zatem mamy układ Cramera z \(\displaystyle{ n-r=1}\) parametrem
3. Weźmy jako parametr \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\)
Dostajemy więc:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x-3y=2-4t \\-2x+y-2z=1+t\\-2y-2z=3-3t \end{cases}\\
t\in\mathbb{R}}\)

i rozwiązujemy jak zwykły układ Cramera...