Obliczyć rząd macierzy

[magda2291]

Mógłby mi ktoś pomoc wyznaczyć rząd macierzy?
wychodzi mi niby 2, ale nie wiem czy to dobrze, potrzebuję naprowadzenia


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} 3&-1& 0&1\\-2&1&-3&2\\ 1&0&-3&3\\ 0&1& 3&-1\\ 1&1& 0&2\end{array}\right]}\)

[Qń]

Mi wyszedł rząd równy trzy. Pokaż rachunki to będzie można zweryfikować błędy.

Q.

[magda2291]

to tak, napierw wyzerowałam kolumnę drugą względem ostatniego wiersza i wyszło:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} 4&0& 0&3\\-3&0&-3&0\\ 1&0&-3&3\\ -1&0& 3&-3\\ 1&1& 0&2\end{array}\right]= 1 +rz\left[\begin{array}{ccc} 4&0&3\\-3&-3&0\\ 1&-3&3\\ -1&3&-3\end{array}\right]}\) potem zerowałam kolumnę czwartą względem trzeciego wiersza i wyszło:
\(\displaystyle{ =1+rz\left[\begin{array}{ccc} 3&3&0\\-3&-3&0\\ 1&-3&3\\ 0&0&0\end{array}\right]= 1+1+rz \left[\begin{array}{cc} 3&3\\-3&-3\\0&0\end{array}\right]}\)
i wydaje mi się, że jeśli w tym ostatnim wierszu są same zera to macierz również będzie 0 czyli \(\displaystyle{ 1+1+0=2}\)

[Qń]

Nie sprawdzałem wszystkich rachunków, ale rząd tej macierzy na samym końcu jest równy jeden, a nie zero.

Q.

[magda2291]

ale dlaczego 1? Możesz mi to tak wytłumaczyć najprościej, bo trochę nie rozumiem właśnie ..

[Qń]

Rząd macierzy to z definicji maksymalna ilość liniowo niezależnych wierszy macierzy (lub kolumn, wszystko jedno). W ostatniej macierzy możemy wyzerować np. drugą kolumnę i otrzymamy wtedy:
\(\displaystyle{ rz \left[\begin{array}{cc} 3&3\\-3&-3\\0&0\end{array}\right]=
rz \left[\begin{array}{c} 3\\-3\\0\end{array}\right]}\)
A w macierzy, która ma tylko jedną (niezerową!) kolumnę ilość kolumn liniowo niezależnych to oczywiście jeden.

Q.

[magda2291]

Aha, bo ja myślałam, że tak tylko z wierszami można robić, a nie z kolumnami
Ok już jasne
dzięki