Dowieść, że suma prosta

[patryk007]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie zbiorem funkcji ciągłych określonych na \(\displaystyle{ <-1;\;1>}\) o wartościach rzeczywistych
\(\displaystyle{ V_1=\{f\in V:\; f(<-1,\;0>)=\{0\}\}\\ V_2=\{f\in V:\; f(<0,\;1>)=\{0\}\}\\ V_3=\{ax+a:\;a\in \mathbb{R}\}}\).

Pokazać, że \(\displaystyle{ V=V_1\oplus V_2 \oplus V_3}\).

___

Myślę, że wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}_1 | \mathcal{B}_2 | \mathcal{B}_3}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\) (gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{B}_i}\) to baza \(\displaystyle{ V_i}\)).
Ale nie wiem jak wyglądają bazy tych przestrzeni od 1 do 3.

Pomóżcie, jutro kolos!

[xiikzodz]

Bazy w takich przestrzeniach sa niezbyt łatwe w obsłudze.

Zaczniemy od pokazania, że \(\displaystyle{ V=V_1+V_2+V_3}\), czyli, że każda funkcja \(\displaystyle{ f\in V}\) daje się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ f_1+f_2+f_3}\) dla \(\displaystyle{ f_i\in V_i}\).

Niech

\(\displaystyle{ f_3(x)=f(0)x+f(0)}\)

\(\displaystyle{ f_1(x)=\frac 12(f(x)-f_3(x))(\mbox{sgn}(x)+1)}\)

\(\displaystyle{ f_2(x)=\frac 12(f(x)-f_3(x))(1-\mbox{sgn}(x))}\)

przyjmując \(\displaystyle{ \mbox{sgn}(0)=0}\).

Wówczas nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ f_i\in V_i}\) oraz \(\displaystyle{ f_1+f_2+f_3=f}\).

Suma jest prosta. Niech \(\displaystyle{ f_i\in V_i}\).

Jeśli \(\displaystyle{ f_1+f_2+f_2=0}\), to \(\displaystyle{ f_3=0}\) (bo \(\displaystyle{ f_1(0)=f_2(0)=0}\)) i wobec tego \(\displaystyle{ f_1=f_2=0}\), bo na przykład \(\displaystyle{ |f_1(t)+f_2(t)|=|f_1(t)|+|f_2(t)|}\) dla każdego \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\).