Mam rozszerzyć macierz \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}\) tak żeby generowała całą przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Macierz jest równoważna wierszowo tej \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}}\).
No to widać, że wystarczy dopisać \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}\) i już taki układ generatorów generuje co trza (\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3=\mathcal{L}(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix})}\)).
Na ćwiczeniach jednak pojawił się chyba sposób, że do tej macierzy \(\displaystyle{ A}\) dopisujemy macierz jednostkową (\(\displaystyle{ (A\;|\;I)}\)), przekształcamy, doprowadzamy do tej schodkowej postaci schodkowej i wybieramy bazę. Tylko, że moim zdaniem więcej roboty z tym jest, nie? Nie łatwiej zrobić tak jak ja to wyżej zrobiłem? Że przekształcamy bez dopisywania macierzy jednostkowej i patrzymy, w którym wierszu są same zera? A może coś pomieszałem i tak nie możemy?
Proszę o rozwianie moich wątpliwości.