Znaleźć jądro i obraz przekształceń liniowych
\(\displaystyle{ F:\;\mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^3,\\ F(x,y,z,s,t)=(x+2y+z-3s+4t,\; 2x+5y+4z-5s+5t,\; x+4y+5z-s-2t)}\)
Teraz jak wpisać to w macierz? Kolumnami czy wierszami?
Nigdy nie wiem. Raz słyszę, że wektory zawsze wpisujemy jako kolumny ale przecież rozwiązując układ równań wpisujemy współczynniki w wierszu. Czy tu też tak będzie?
Może ktoś wyjaśni jak i dlaczego.
Tak:
I) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&-3&4 \\ 2&5&4&-5&5 \\ 1&4&5&-1&-2 \end{bmatrix}}\)
czy tak:
II) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 2&5&4 \\ 1&4&5 \\ -3&-5&-1 \\ 4&5&-2 \end{bmatrix}}\)
No i druga część pytania: jak to się robi?
Wiem, że \(\displaystyle{ \ker{(F)}=\{v\in \mathbb{R}^5: \;F(v)=0\}}\) a \(\displaystyle{ \Im{(F)} = \{F(v)\in \mathbb{R}^3:\;v\in\mathbb{R}^5 \}}\). Szukając więc jądra muszę znaleźć wektor \(\displaystyle{ v_{0}=\in \mathbb{R}^5}\), który spełnia \(\displaystyle{ F(v)=0}\).
Zdaje się, że powinienem zapisać macierz na sposób ( I ) i znaleźć rozwiązania \(\displaystyle{ v_{0}(x,y,z,s,t)}\) takie, żeby spełniały \(\displaystyle{ F(v)=0}\).
No to wyliczyłem \(\displaystyle{ v_{0}=(3z+5s-10t, \;-2z-s+3t,\; z,\;s,\;t)}\).
Czy w takim razie jądro to \(\displaystyle{ \mathcal{L}(v_0)}\) czy może \(\displaystyle{ \mathcal{L}\{\begin{bmatrix}3\\-2\\1\\0\\0 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}5\\-1\\0\\1\\0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} -10 \\ 3\\0\\0\\1\end{bmatrix})}\). W tym momencie chodzi mi o zapis.
A jak znaleźć obraz \(\displaystyle{ \Im{(F)}}\)?
___
PS: WAŻNE
Chodzi mi o standardowy sposób robienia tego typu zadań. Dobrze wiem, że możemy wpisać to w macierz jakkolwiek tylko potem trzeba wiedzieć jak na tym działać.
Chodzi mi o standardowy sposób, taki jaki się przyjął.