Domknięcie liniowe

[porucznik]

Witam, tym razem mam kłopot ze zrozumieniem w jaki sposób wyznacza się domknięcie liniowe.

Na przykładzie:

\(\displaystyle{ V = \mathbb R [x], A = \lbrace p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \rbrace p_{1}(x) = 1,p_{2}(x) = x + 1, p_{3}(x) = x^{2} + x + 1, p_{4}(x) = 3x^{2} + 2x + 1}\)

Na początek zapisuję \(\displaystyle{ Lin A = \lbrace \alpha p_{1} + \beta p_{2} + \gamma p_{3} + \delta p_{4} : \alpha , \beta , \gamma , \delta \in \mathbb R \rbrace}\)

Następnie wymnażam, grupuję i otrzymuję, że dla pewnych a,b,c mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 3 \delta + \gamma \\ b= \beta + \gamma + 2 \delta \\ c = \alpha + \beta + \gamma + \delta \end{cases}}\)

W tym momencie przestaję wiedzieć co należy zrobić dalej. Gdyby ktoś mógł napisać mniej lub bardziej szczegółowe objaśnienie kolejnych działań oraz oczywiście skąd bierze się wynik i dlaczego taki a nie inny, byłbym wdzięczny.

Pozdrawiam.

@edit:

inny przykład (w każdym zakopuję się w tym samym miejscu):

\(\displaystyle{ V = \mathbb R^{3}, A = \lbrace (0,0,1), (0,1,0),(0,-1,1) \rbrace}\)

Podobnie jak w przykładzie wyżej doszedłem do układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \beta - \gamma = a \\ \alpha + \gamma = b \end{cases}}\)

... ?

[xiikzodz]

Domknięcie liniowe wielomianów, \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{p_1,\ldots,p_4\}}\) to zbiór nazwijmy go \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\) wszystkich wielomianów stopnia niewiększego niż 2.

Niewątpliwie

\(\displaystyle{ \mbox{lin}\{p_1,\ldots,p_4\}\subseteq \mathbb{R}_2[x]}\).

bo wszystkie \(\displaystyle{ p_i}\) należą do \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\).

Z drugiej strony do zbioru \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{p_1,\ldots,p_4\}}\) należą wielomiany:

\(\displaystyle{ 1=p_1}\)

\(\displaystyle{ x=p_2-p_1}\)

\(\displaystyle{ x^2=p_3-p_2}\),

które stanowią bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\). Zatem

\(\displaystyle{ \mbox{lin}\{p_1,\ldots,p_4\}\supseteq \mathbb{R}_2[x]}\)

i w konsekwencji

\(\displaystyle{ \mbox{lin}\{p_1,\ldots,p_4\}= \mathbb{R}_2[x]}\).

[porucznik]

Dziękuję, rozumiem. Niemniej jednak, zależałoby mi, aby wiedzieć w jaki sposób rozwiązywać (pokazywać) metodą układów równań te domknięcia liniowe. Jeśli ktokolwiek jest mi w stanie to wyjaśnić będę wdzięczny.

Pozdrawiam.