wartosc w ktorej wektory są położone na jednej płaszczyźnie

[czartor]

Dla jakiej wartości k wektory: \(\displaystyle{ \vec{a}}\) = [k,-3,2], \(\displaystyle{ \vec{b}}\) = [3,1,5], \(\displaystyle{ \vec{c}}\) = [-1,-7,-1] są położone w jednej płaszczyźnie?

Prosze o rozwiazanie

[kristoffwp]

Proponuje dane wektory b i c przemnozyc wektorowo. Wektor a bedzie lezal w tej samej plaszczyznie co b i c, jezeli iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} )=0}\)

[czartor]

a mogłbym prosic o rozwiązanie krok po kroku? bo nie bardzo sie z tym orientuje a sesja tuz tuz...

[kristoffwp]

\(\displaystyle{ \vec{b} \times \vec{c} = det\left[\begin{array}{ccc}3&1&5\\-1&-7&-1\\i&j&k\end{array}\right] = (-1+35)i + (-5+3)j+(-21+1)k = [34, -2, -20]}\)
\(\displaystyle{ [34, -2, -20] \cdot [k, -3, 2]=34k+6-40=0 \Rightarrow k=1}\)-- 25 sty 2011, o 22:58 --Tylko uwaga! To drugie k (w macierzy) to wersor [0,0,1], a nie niewiadoma wspolrzedna wektora:)

[reesp0601]

Mam problem z zadaniem, nie jestem pewien czy dobrze je rozwiązuje i prosiłbym o pomoc/sprawdzenie.
Otóż zadanie brzmi: Dla jakiej wartości Q wektory leżą na jednej płaszczyźnie.
\(\displaystyle{ \vec{A}=[1,1,Q];
\vec{B}=[0,1,2];
\vec{C}=[-1,3,0];
\vec{D}=[5,0,-4];}\)

Wyznacznik macierzy utworzonej z wektorów BCD \(\displaystyle{ \neq}\) 0
Czy wystarczy, że pomnożę wektorowo B i C:
\(\displaystyle{ \vec{b} \times \vec{c} = det\left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-1&3&0\\i&j&k\end{array}\right] = -6i + -2j + k = [-6, -2, 1]}\)
i podstawie do A
\(\displaystyle{ [-6, -2, 1] \cdot [1, 1, Q]=-6-2+Q=0 \Rightarrow Q=8}\)?

ostatecznie:
\(\displaystyle{ \vec{A}=[1,1,8];
\vec{B}=[0,1,2];
\vec{C}=[-1,3,0];
\vec{D}=[5,0,-4].}\)

Dobrze?
Czy istnieje może jakiś inny sposób na rozwiązanie tego zadania? Nie można liczyć tego z wyznacznika całej macierzy gdyż ta nie jest macierzą kwadratową.