Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ W=\{a+bi,c+di}; a,b\in Q\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ C^2}\) nad ciałem liczb rzeczywistych gdzie \(\displaystyle{ Q}\) oznacza zbiór liczb wymiernych.
Jakby mógł mi ktoś pomóc byłbym ogromnie wdzięczny
podprzestrzeń przestrzeni
-
Mikolaj9
- Użytkownik
- Posty: 535
- Rejestracja: 19 gru 2008, o 15:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 62 razy
podprzestrzeń przestrzeni
Jeśli \(\displaystyle{ c,d \in \mathbb Q}\), to tak.
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ v,w \in W}\). Mamy \(\displaystyle{ v=a+bi}\), \(\displaystyle{ w=c+di}\), \(\displaystyle{ v+w=(a+c)+(b+d)i}\), gdzie \(\displaystyle{ a+c}\) oraz \(\displaystyle{ b+d}\) \(\displaystyle{ \in \mathbb Q}\). Zatem \(\displaystyle{ v+w \in W}\).
Weźmy teraz dowolne \(\displaystyle{ v \in W}\) i \(\displaystyle{ k\in \mathbb Q}\). Mamy \(\displaystyle{ v=a+bi}\), \(\displaystyle{ kv=ka+kbi}\), gdzie \(\displaystyle{ ka}\), \(\displaystyle{ kb}\) \(\displaystyle{ \in \mathbb Q}\).
Na mocy twierdzenia o podprzestrzeni otrzymujemy tezę.
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ v,w \in W}\). Mamy \(\displaystyle{ v=a+bi}\), \(\displaystyle{ w=c+di}\), \(\displaystyle{ v+w=(a+c)+(b+d)i}\), gdzie \(\displaystyle{ a+c}\) oraz \(\displaystyle{ b+d}\) \(\displaystyle{ \in \mathbb Q}\). Zatem \(\displaystyle{ v+w \in W}\).
Weźmy teraz dowolne \(\displaystyle{ v \in W}\) i \(\displaystyle{ k\in \mathbb Q}\). Mamy \(\displaystyle{ v=a+bi}\), \(\displaystyle{ kv=ka+kbi}\), gdzie \(\displaystyle{ ka}\), \(\displaystyle{ kb}\) \(\displaystyle{ \in \mathbb Q}\).
Na mocy twierdzenia o podprzestrzeni otrzymujemy tezę.
Ostatnio zmieniony 24 sty 2011, o 20:12 przez Mikolaj9, łącznie zmieniany 2 razy.