Określ liczbę rozwiązań w zależności od parametru b. Znajdź te rozwiązania.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} bx+y=1\\x+by=1\\x+y=b \end{array}}\)
Określanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Określanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wiemy, że to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ rz\left( \begin{bmatrix}b&1\\1&b\\1&1\end{bmatrix}\right) = rz\left( \begin{bmatrix}b&1&1\\1&b&1\\1&1&b\end{bmatrix}\right)}\)
Ta pierwsza macierz ma rząd co najwyżej dwa, jeśli więc ta druga macierz ma rząd równy trzy, to równanie nie ma rozwiązań. Ale ta druga macierz jest kwadratowa, więc jej rząd jest równy trzy wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest niezerowy.
Należy zatem policzyć jej wyznacznik i zbadać dla jakich \(\displaystyle{ b}\) jest on równy zero. Dla wszystkich pozostałych \(\displaystyle{ b}\) równanie nie będzie miało rozwiązania, a dla tych znalezionych (\(\displaystyle{ b=1}\) i \(\displaystyle{ b=-2}\)) należy zbadać osobno czy rozwiązanie jest jedno, czy nieskończenie wiele.
Q.
\(\displaystyle{ rz\left( \begin{bmatrix}b&1\\1&b\\1&1\end{bmatrix}\right) = rz\left( \begin{bmatrix}b&1&1\\1&b&1\\1&1&b\end{bmatrix}\right)}\)
Ta pierwsza macierz ma rząd co najwyżej dwa, jeśli więc ta druga macierz ma rząd równy trzy, to równanie nie ma rozwiązań. Ale ta druga macierz jest kwadratowa, więc jej rząd jest równy trzy wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest niezerowy.
Należy zatem policzyć jej wyznacznik i zbadać dla jakich \(\displaystyle{ b}\) jest on równy zero. Dla wszystkich pozostałych \(\displaystyle{ b}\) równanie nie będzie miało rozwiązania, a dla tych znalezionych (\(\displaystyle{ b=1}\) i \(\displaystyle{ b=-2}\)) należy zbadać osobno czy rozwiązanie jest jedno, czy nieskończenie wiele.
Q.
-
tadzio89
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 11 lis 2008, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
Określanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
tak, tylko czy to twierdzenie nie jest prawdziwe tylko dla przypadku gdy liczba rownan jest rowna liczbie niewiadomych?
-
tadzio89
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 11 lis 2008, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
Określanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
Jeszcze jeden przykład.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-y+3z=1\\3x+y+2z=b\\x+2y-z=0 \end{array}}\)
Wyznacznik macierzy A=0, zatem jej rząd musi wynosić 2.
By rząd rozszerzonej macierzy [A|B] wynosił 2 wyznacznik poszczególnych minorów musi wynosić 0, rozważam zatem po kolei wszystkie wyznaczniki skreślając z macierzy rozszerzonej odpowiednio najpierw pierwszą kolumnę, później drugą i na końcu trzecią?
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-y+3z=1\\3x+y+2z=b\\x+2y-z=0 \end{array}}\)
Wyznacznik macierzy A=0, zatem jej rząd musi wynosić 2.
By rząd rozszerzonej macierzy [A|B] wynosił 2 wyznacznik poszczególnych minorów musi wynosić 0, rozważam zatem po kolei wszystkie wyznaczniki skreślając z macierzy rozszerzonej odpowiednio najpierw pierwszą kolumnę, później drugą i na końcu trzecią?
Określanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
Mam zadanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+3z-4t=4\\y-z+t= \alpha\\x+3y-3t=1\\-7y+3z+t= \alpha \end{cases}}\)
Polecenie jest znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) że istnieje choć jedno rozwiązanie.
Potrzebuje to zrozumieć na jutro na kolokwium..
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+3z-4t=4\\y-z+t= \alpha\\x+3y-3t=1\\-7y+3z+t= \alpha \end{cases}}\)
Polecenie jest znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) że istnieje choć jedno rozwiązanie.
Potrzebuje to zrozumieć na jutro na kolokwium..
Określanie liczby rozwiązań w zależności od parametru
Nie wiem jakie musi mieć układ równań wartości [przy przejściu na macierz] by można było określić dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jedno lub więcej albo jest sprzeczne.
Szukałem na necie ale znalazłem tylko metodę przez wyznaczniki, którą [jak również przeczytałem] można obliczać dla macierzy 2x2 i 3x3 bo dla innych nie ma ona sensu.
Szukałem na necie ale znalazłem tylko metodę przez wyznaczniki, którą [jak również przeczytałem] można obliczać dla macierzy 2x2 i 3x3 bo dla innych nie ma ona sensu.