kombinacje liniowe wektorow :(

[ptysza]

mam wyznaczyc wszystkie o ile istnieja kombinacje liniowe wektorow a dajace wektor b, np

b=(-3,1,0) a1=(-2,1,3) a2=(1,0,2) a3=(-1,1,5)

od czego ja mam wogole zaczac? moze ktos pokaze jak rozwiazac ten przyklad to z innnymi analogicznie bym juz sobie dala rade, z ksiazki niestety malo rozumiam prosze was o pomoc

[yorgin]

\(\displaystyle{ b=\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3\\
_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3=\alpha_1(-2,1,3)+\alpha_2(1,0,2)+\alpha_3(-1,1,5)=(-2\alpha_1,\alpha_1,0)+(\alpha_2,0,2\alpha_2)+(-1\alpha_3,\alpha_3,5\alpha_3)=\\
(-2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,3\alpha_1+2\alpha_2+5\alpha_3)=(-3,1,0)}\)
Mamy taki oto układzik:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}-2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=-3 \\\alpha_1+\alpha_3=1 \\\3alpha_1+2\alpha_2+5\alpha_3=0 \end{array}}\)
Wystarczy teraz tylko rozwiązać i mamy znalezione wszystkie możliwe wartości skalarów

[take7]

przepraszam ze sie wtrace ale skad sie wzielo to :
\(\displaystyle{ \\ (-2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,3\alpha_1+2\alpha_2+5\alpha_3)=(-3,1,0)}\)

[yorgin]

Wektor \(\displaystyle{ b=(-3,1,0)}\) jest kombinacją liniową pozostałych 3 to znaczy że
\(\displaystyle{ \exists_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \mathbb{F}}:\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3=b}\)