przestrzen liniowa

[opolak]

Mam problem z tymi zadaniami, kompletnie nie wiem jak do nich podejsc
1)Czy wektory, dla oddzielnych przypadków (a,b,c)
a) [1,2] [-1,-2]
b) [0,0] [3,4]
c) [x,x] [-x,-x]
Czy ich wszelkie kombinacje liniowe tworzą przestrzeń liniową? Jeśli tak, to jaki jest jej wymiar i przykładowa baza
2)Czy wszelkie kombinacje liniowe poniŜszych dwóch wektorów tworzą przestrzeń liniową [0, 1, 2, 0]
[0, 3, 4, 0] i jaki jest jej wymiar

[sebnorth]

ad 1)

Zbiór kombinacji liniowych układu wektorów zawsze jest podprzetrzenią w danej przestrzeni. Daną przestrzenią rozumiem że jest tu \(\displaystyle{ R^{2}}\).

a) Drugi wektor jest równy pierwszemu pomnożonemu przez -1. Mając więc te dwa wektory nie zbudujemy nic ponad prostą. Przestrzeń rozpięta przez te dwa wektory oznaczmy sobie ją przez \(\displaystyle{ Lin([1,2],[-1,-2])}\) jest jednowymiarowa. Baza składa się z jednego elementu. Może być nim dowolny niezerowy wektor tej prostej. No to niech będzie że baza bedzię \(\displaystyle{ {[1,2]}}\).

b) Wektor zerowy nic nie wnosi w sensie nie powiększy przestrzeni która tak czy siak wektor zerowy zawiera(wynika to z aksjomatów przestrzeni wektorowej). A więc \(\displaystyle{ Lin([0,0],[3,4]) = Lin([3,4]).}\) I znowu mamy jednowymiarową podprzestrzeń z bazą \(\displaystyle{ {[3,4]}}\).

c) ćwiczenie podobne do punktu a) gdy za x się podstawi \(\displaystyle{ [1,2]}\). Natomiast jeśli \(\displaystyle{ x=[0,0]}\) to otrzymamy trywialną podprzestrzeń zerową \(\displaystyle{ {[0,0]}}\). Jej wymiar jest równy 0 choć w niektórych książkach przyjmuje się że wymiar wynosi \(\displaystyle{ - \infty}\) . Ale to już bardziej filozofia matematyki.

ad 2)

Wymiar może być tutaj 1 lub 2. Będzie 2 jeśli wektory te będą liniowo niezależne co dla dwóch wektorów sprowadza się do tego że jeden jest wielokrotnością drugiego. Załóżmy że tak jest. Więc
istnieje \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) takie, że

\(\displaystyle{ [0, 1, 2, 0] = \alpha \cdot [0, 3, 4, 0]}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = \alpha \cdot 3 \\ 2 = \alpha \cdot 4 \end{cases}}\)

Ten układ jest sprzeczny, zatem wymiar będzie równy jednak 2.

[opolak]

Wielkie dzieki, co do 1 wszystko lapie, ale do drugiego czemu tutaj przestrzen jest 2 wymiarowa? a nie 4?

[sebnorth]

Przestrzeń jest dwuwymiarowa ponieważ jej baza składa się z dwóch wektorów, jest ona generowana przez dwa wektory które jak pokazalismy są liniowo niezależne.