Wykazanie podobieństwa między macierzami
Wykazanie podobieństwa między macierzami
Dane są macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) o wymiarach \(\displaystyle{ n\times n}\). Należy wykazać podobieństwo między \(\displaystyle{ BA}\) i \(\displaystyle{ AB}\)
Ostatnio zmieniony 21 sty 2011, o 12:52 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykazanie podobieństwa między macierzami
To nieprawda na przykład dla \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ B= \begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}\). Wówczas macierze:
\(\displaystyle{ AB= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
i
\(\displaystyle{ BA= \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
nie są podobne.
Natomiast przy dodatkowym założeniu, że któraś z macierzy \(\displaystyle{ A,B}\) jest nieosobliwa zadanie staje się proste.
Q.
\(\displaystyle{ AB= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
i
\(\displaystyle{ BA= \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
nie są podobne.
Natomiast przy dodatkowym założeniu, że któraś z macierzy \(\displaystyle{ A,B}\) jest nieosobliwa zadanie staje się proste.
Q.
Wykazanie podobieństwa między macierzami
Mógłbyś pokazać, jak należy wykazać tę własność przy założeniu, że A i B są nieosobliwe?
Wykazanie podobieństwa między macierzami
Tak. To znaczy, że istnieje taka macierz \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ A=PBP^{-1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykazanie podobieństwa między macierzami
Tak więc chcemy znaleźć taką macierz \(\displaystyle{ P}\), że:
\(\displaystyle{ PABP^{-1}=BA}\)
lub jak kto woli:
\(\displaystyle{ PAB=BAP}\)
Nie masz żadnego pomysłu na to czym mogłaby być macierz \(\displaystyle{ P}\), żeby ta równość zachodziła?
Q.
\(\displaystyle{ PABP^{-1}=BA}\)
lub jak kto woli:
\(\displaystyle{ PAB=BAP}\)
Nie masz żadnego pomysłu na to czym mogłaby być macierz \(\displaystyle{ P}\), żeby ta równość zachodziła?
Q.
Wykazanie podobieństwa między macierzami
Czy taką macierzą nie jest czasem \(\displaystyle{ B}\)? : )