Wykazanie podobieństwa między macierzami

[darkmiki]

Dane są macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) o wymiarach \(\displaystyle{ n\times n}\). Należy wykazać podobieństwo między \(\displaystyle{ BA}\) i \(\displaystyle{ AB}\)

[Qń]

To nieprawda na przykład dla \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ B= \begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}\). Wówczas macierze:
\(\displaystyle{ AB= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
i
\(\displaystyle{ BA= \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
nie są podobne.

Natomiast przy dodatkowym założeniu, że któraś z macierzy \(\displaystyle{ A,B}\) jest nieosobliwa zadanie staje się proste.

Q.

[darkmiki]

Mógłbyś pokazać, jak należy wykazać tę własność przy założeniu, że A i B są nieosobliwe?

[Qń]

A wiesz co to znaczy, że macierze są podobne?

Q.

[darkmiki]

Tak. To znaczy, że istnieje taka macierz \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ A=PBP^{-1}}\)

[Qń]

Tak więc chcemy znaleźć taką macierz \(\displaystyle{ P}\), że:
\(\displaystyle{ PABP^{-1}=BA}\)
lub jak kto woli:
\(\displaystyle{ PAB=BAP}\)

Nie masz żadnego pomysłu na to czym mogłaby być macierz \(\displaystyle{ P}\), żeby ta równość zachodziła?

Q.

[darkmiki]

Czy taką macierzą nie jest czasem \(\displaystyle{ B}\)? : )

[Qń]

Tak, to jeden z dwóch narzucających się przykładów. Drugim jest \(\displaystyle{ A^{-1}}\).

Q.

[darkmiki]

Czadowo. Dziękuję pięknie!