Jak obliczyć wyznacznik danej macierzy w jakiś szybki sposób?
\(\displaystyle{ A_n = \left[\begin{array}{cccccccc}2&1&0&0&\ldots&0&0&0\\1&2&1&0&\dots&0&0&0\\0&1&2&1&\ldots&0&0&0\\\vdots& & & & & & &\vdots\\\vdots& & & & & & &\vdots\\0&0&0&0&\ldots&1&2&1\\0&0&0&0&\dots&0&1&2\end{array}\right]}\)
Trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ det(A_n)=n+1}\)
Jak na razie widzę dwa sposoby, jednak żadne z nich nie jest dostatecznie przekonujące, bo albo bardzo żmudne w liczeniu, albo trzeba rozwiązać równanie rekurencyjne. Da się jakoś inaczej?
Wyznacznik macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wyznacznik macierzy
Rozwinięcie według pierwszej kolumny daje:
\(\displaystyle{ \det A_n = 2 \det A_{n-1} - \det A_{n-2}}\) (dlaczego?)
Oczywiście też \(\displaystyle{ \det A_1= 2, \det A_2= 3}\)
Wystarczy więc użyć indukcji.
Q.
\(\displaystyle{ \det A_n = 2 \det A_{n-1} - \det A_{n-2}}\) (dlaczego?)
Oczywiście też \(\displaystyle{ \det A_1= 2, \det A_2= 3}\)
Wystarczy więc użyć indukcji.
Q.