Wyznacznik macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
macciej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 15 mar 2007, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 10 razy

Wyznacznik macierzy

Post autor: macciej91 »

Jak obliczyć wyznacznik danej macierzy w jakiś szybki sposób?
\(\displaystyle{ A_n = \left[\begin{array}{cccccccc}2&1&0&0&\ldots&0&0&0\\1&2&1&0&\dots&0&0&0\\0&1&2&1&\ldots&0&0&0\\\vdots& & & & & & &\vdots\\\vdots& & & & & & &\vdots\\0&0&0&0&\ldots&1&2&1\\0&0&0&0&\dots&0&1&2\end{array}\right]}\)
Trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ det(A_n)=n+1}\)
Jak na razie widzę dwa sposoby, jednak żadne z nich nie jest dostatecznie przekonujące, bo albo bardzo żmudne w liczeniu, albo trzeba rozwiązać równanie rekurencyjne. Da się jakoś inaczej?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wyznacznik macierzy

Post autor: »

Rozwinięcie według pierwszej kolumny daje:
\(\displaystyle{ \det A_n = 2 \det A_{n-1} - \det A_{n-2}}\) (dlaczego?)
Oczywiście też \(\displaystyle{ \det A_1= 2, \det A_2= 3}\)

Wystarczy więc użyć indukcji.

Q.
macciej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 15 mar 2007, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 10 razy

Wyznacznik macierzy

Post autor: macciej91 »

Właśnie o tym myślałem od samego początku.
Teraz wystarczy zastosować zwykłą indukcję, tak?
ODPOWIEDZ