Cześć...mam problem z takim oto zadaniem:
Należy zbadać liniową zależność wektorów w \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}}\):
\(\displaystyle{ e_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ e_{2}=\left[\begin{array}{c}1\\1+jz\\jz-1\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ e_{3}=\left[\begin{array}{c}jz\\1\\-jz\end{array}\right]}\)
...oraz wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ e=\left[\begin{array}{c}2\\1\\j-2\end{array}\right]}\) w bazie złożonej z \(\displaystyle{ e_{1},e_{2},e_{3}}\) dla z=1.
P.S. Mam nadzieje ze dobrze napisałem temat...
liniowe zależności wektorów i ich współrzędne
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
liniowe zależności wektorów i ich współrzędne
Tworzymy macierz:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&(1+jz)&(jz-1)\\jz&1&-jz\end{array}\right]}\)
Jest to macierz powstała z naszych wektorow \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\)
Wektory \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) sa linowo zalezne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ detA=0}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ detA=0}\) gdy \(\displaystyle{ z=0 z=j}\)
dla \(\displaystyle{ z=1}\) nasze wektory bazowe \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) maja postac:
\(\displaystyle{ e_1=\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right],e_2=\left[\begin{array}{c}1\\1+j\\j-1\end{array}\right],e_3=\left[\begin{array}{c}j\\1\\-j\end{array}\right]}\)
Wiemy ze wektory \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) sa baza, zatem wektor \(\displaystyle{ e}\) jest kombinacja liniowa wektorow bazowych.
\(\displaystyle{ \alpha\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right]+\beta
ft[\begin{array}{c}1\\1+j\\j-1\end{array}\right]+\gamma\left[\begin{array}{c}j\\1\\-j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\1\\j-2\end{array}\right]}\)
Zeby wyznaczyc wspolrzedne wektora \(\displaystyle{ e \hbox{ w bazie } e_1,e_2,e_3}\) nalezy rozwiazac powyzsze rownanie.
Z tym juz powinienes sobie poradzic...
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&(1+jz)&(jz-1)\\jz&1&-jz\end{array}\right]}\)
Jest to macierz powstała z naszych wektorow \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\)
Wektory \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) sa linowo zalezne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ detA=0}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ detA=0}\) gdy \(\displaystyle{ z=0 z=j}\)
dla \(\displaystyle{ z=1}\) nasze wektory bazowe \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) maja postac:
\(\displaystyle{ e_1=\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right],e_2=\left[\begin{array}{c}1\\1+j\\j-1\end{array}\right],e_3=\left[\begin{array}{c}j\\1\\-j\end{array}\right]}\)
Wiemy ze wektory \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) sa baza, zatem wektor \(\displaystyle{ e}\) jest kombinacja liniowa wektorow bazowych.
\(\displaystyle{ \alpha\left[\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right]+\beta
ft[\begin{array}{c}1\\1+j\\j-1\end{array}\right]+\gamma\left[\begin{array}{c}j\\1\\-j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\1\\j-2\end{array}\right]}\)
Zeby wyznaczyc wspolrzedne wektora \(\displaystyle{ e \hbox{ w bazie } e_1,e_2,e_3}\) nalezy rozwiazac powyzsze rownanie.
Z tym juz powinienes sobie poradzic...