Liniowa niezależność, zależność

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Mecio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 22 lis 2009, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

Liniowa niezależność, zależność

Post autor: Mecio »

Mam takie oto zadanie
Sprawdź, czy układ wektorów jest liniowo niezależny.
\(\displaystyle{ v1 = 1+x-2x^2{}}\)
\(\displaystyle{ v2 = 2+5x+x^2{}}\)
\(\displaystyle{ v3 = x+ x^2{}}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Liniowa niezależność, zależność

Post autor: »

Możesz sprawdzić z definicji, tzn. założyć, że:
\(\displaystyle{ a(1+x-2x^2)+b(2+5x+x^2)+c(x+x^2)=0}\)
i wykazać, że wówczas \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)

Na to samo wyjdzie, jeśli zbadasz czy macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&-2\\2&5&1\\0&1&1\end{bmatrix}}\)
jest nieosobliwa.

Q.
Mecio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 22 lis 2009, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

Liniowa niezależność, zależność

Post autor: Mecio »

..czyli
\(\displaystyle{ x^2(-2a+b+c)+x(a+5b+c)+(a+2b) = 0}\)
I teraz aby było to prawdziwe nawiasy muszą równać się zeru czyli
\(\displaystyle{ -2a+b+c = 0}\)
\(\displaystyle{ a+5b+c = 0}\)
\(\displaystyle{ a+2b=0}\)

i obliczając ten układ równań wychodzi, że a = 0, b = 0, c = 0 czyli układ wektorów jest liniowo niezależny.

Dzięki wielkie
ODPOWIEDZ