Macierz nieosobliwa

[esenna]

Niech B będzie macierzą kwadratową taką że \(\displaystyle{ B^{3} = 0}\) Udowodnij, że macierz \(\displaystyle{ A = I -B}\) jest nieosobliwa.

Prosiłabym o rozwiązanie, albo chociaż o wskazówkę.

[Qń]

Wskazówka: z założenia mamy
\(\displaystyle{ I-B^3=I}\)
czyli
\(\displaystyle{ (I-B)(I+B+B^2)=I}\)

Q.

[esenna]

Niestety nadal nie udało mi się dojść do tego jak to powinno wyglądać... Może jeszcze jakaś wskazówka?

[Qń]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ \det B \cdot \det C = \det (BC)}\). Tak więc:
\(\displaystyle{ \det (I-B) \cdot \det (I+B+B^2) = \det I}\)

Q.