Przestrzenie wektorowe (liniowe)

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Marys91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sty 2011, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Przestrzenie wektorowe (liniowe)

Post autor: Marys91 »

Witam,
proszę o pomoc w pewnych zadaniach oraz o uporządkowanie zdobytej wiedzy. Zakupiłem
sobie książkę na ten temat, ale im dalej ją czytam tym mniej rozumiem lub się gubię, więc proszę o linki to materiałów (z przykładami) gdzie jest to w jasny sposób wytłumaczony lub krótko naprowadzić mnie na temat. Chodzi mi raczej o rozwiązywanie zadań niż teorię więc to o czym trzeba pamiętać przy rozwiązywaniu zadań.
Zakres materiału:
1. Przestrzenie wektorowe (liniowe)
a) Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej
b) Zbiory generujące przestrzeń wektorową
c) Liniowa niezależność wektorów
d) Baza przestrzeni wektorowej
e) Wymiar przestrzeni wektorowej
2. Rząd macierzy i układy równań liniowych
a) Rząd macierzy
b) Badanie rządu macierzy za pomocą minorów
c) Rozwiązanie układu równań liniowych
3. Współrzędne wektora w bazie. Zmiany bazy
a) Współrzędne wektora w bazie
b) Zmiany bazy
4. Odwzorowanie liniowe
a) Elementarne właściwości odwzorowań liniowych
b) Jądro odwzorowań
c) Zbiór wartości odwzorowania liniowego
d) Izomorfizm przestrzeni wektorowych
e) Macierz odwzorowania liniowego
f) Macierz odwzorowania w bazach standardowych
g) Złożenie odwzorowań liniowych
h) Odwzorowanie odwrotne

Pierwszy temat jeszcze jakoś ogarniam, drugi też coś tam kumam, ale reszty już kompletnie nie rozumiem. Jakby można było to prosiłbym o wytłumaczenie na przykładach. Np. jakiś przykład (zadanie) i rozwiązanie wraz z tym o czym trzeba pamiętać.

I teraz podczas rozwiązywania zadań natknąłem się na takie zadania, z którymi mam problem:
1. Sprawdź, czy zbiór macierzy postaci:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&0\end{array}\right]}\)

ze zwykłymi działaniami na macierzach, jest przestrzenią wektorową. Jeże nie wskazać, który z warunków
nie zachodzi.

2. Sprawdź, czy zbiór \(\displaystyle{ S}\) generuje przestrzeń \(\displaystyle{ R ^{3}}\), gdy:
a) \(\displaystyle{ S=\left\{(4, 7, 3), (-1, 2, 6), (2, -3, 5) \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ S=\left\{(1, -2, 0), (0, 0, 1), (-1, 2, 0)\right\}}\)

3. Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest liniowo niezależny, czy zależny:
\(\displaystyle{ S=\left\{x ^{2}+3x+1, 2x^{2}+x-1, 4x \right\}}\)

4. Wskazać wszystkie podzbiory zbioru
\(\displaystyle{ S=\left\{(1, 3, -2), (-4, 1, 1), (-2, 7, -3), (2, 1, 1)\right\}}\)
które tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

5. Podać bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\), która zawiera zbiór:
\(\displaystyle{ S=\left\{(1, 0, 2), (0, 1, 1)\right\}}\)

6. Sprawdź czy niejednorodny układ równań \(\displaystyle{ A \cdot x=b}\) ma rozwiązania. Jeżeli tak, zapisać rozwiązania w postaci \(\displaystyle{ x=x _{j}+x _{s}}\) (\(\displaystyle{ x _{j}}\) oznacza rozwiązanie ogólne układu jednorodnego \(\displaystyle{ A \cdot x=0}\), \(\displaystyle{ x _{s}}\) rozwiązanie szczególne układu \(\displaystyle{ A \cdot x=b}\))

\(\displaystyle{ \begin{cases}3w-2x+16y-2z=7\\-w+5x-14y+18z=29\\3w-x+14y+2z=1 \end{cases}}\)

7. Sprawdź czy wektor b jest elementem przestrzeni kolumnowej macierzy A. Jeżeli tak, przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumny macierzy A.

A= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\4&0\end{array}\right]}\)

b= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3\\4\end{array}\right]}\)

8. Ustalić liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+ky=1\\-3x+y+kz=-1\\-x+5y+2z=k-1\end{cases}}\)


Z tymi zadaniami mam problemy. Proszę o pomoc!
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Przestrzenie wektorowe (liniowe)

Post autor: tometomek91 »

1. Sprawdź wszystkie warunki z definicji przestrzeni wektorowej.
2. Sprawdzić, czy dowolny wektor \(\displaystyle{ v=(a,b,c)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c, \in \mathbb{R}}\) można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów ze zbioru S.
3. Z definicji liniowej niezależności.
4. Można znów z definicji, czyli trzeba rozpatrzyć \(\displaystyle{ {4 \choose 3}}\) przypadki i warunki jakie spełniają wektory bazowe, lub skorzystać z tego, że wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) tworzą bazę w \(\displaystyle{ R^3}\), gdy wyznacznik macierzy utworzony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.
5. np. bazę tworzą wektory: \(\displaystyle{ v_1=(1,0,2),\ v_2=(0,1,1),\ v_3=(1,1,0)}\)
6.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}3&-2&16&-2&7\\-1&5&-14&18&29\\3&-1&14&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}3&-2&16&-2&7\\0&13&-26&52&94\\0&1&-2&4&-6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}3&-2&16&-2&7\\0&13&-26&52&94\\0&0&0&0&172\end{array}\right]}\)
rzędy macierzy nie są równe - układ sprzeczny.
7.
\(\displaystyle{ v_1=(-1,4),\ v_2=(2,0)}\)
mamy:
\(\displaystyle{ b=v_1+2v_2}\)
8.
Z Cramera:
\(\displaystyle{ x=\frac{\left[\begin{array}{ccc}1&k&0\\-1&1&k\\k-1&5&2\end{array}\right]}{-(k+1)(k-2)}\\
y=\frac{\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\-3&-1&k\\-1&k-1&2\end{array}\right]}{-(k+1)(k-2)}\\
z=\frac{\left[\begin{array}{ccc}1&k&1\\-3&1&-1\\-1&5&k-1\end{array}\right]}{-(k+1)(k-2)}}\)

Teraz sprawdzić po kolei co dla jakich k.
ODPOWIEDZ