Wektory , wektory komplanarne

[spirit_wizard]

1. Znaleźć pole trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A = (1,−2, 8), \ B = (0, 0, 4), \ C = (6, 2, 0)}\) oraz długość
wysokości h poprowadzonej z wierzchołka B.

2. Wykazać, ze wektory \(\displaystyle{ \vec a = [−1, 3, 2], \ \vec b= [2,−3,−4], \ \vec c = [−3, 12, 6]}\) są komplanarne i rozłożyć
wektor \(\displaystyle{ \vec c}\) na kierunki wektorów \(\displaystyle{ \vec a}\) i \(\displaystyle{ \vec b}\).

_______

W 1 zad.obliczyłem pole stosując iloczyn wektorowy. Co do wysokości wiem że wektor wysokości musi być prostopadły do wektora AC ale nie mam pojęcia jak tą wysokość wyliczyć.

Na 2 nie mam pomysłu jak to zrobić.

[Inkwizytor]

1) POLE
- albo korzystasz ze wzoru wyznacznikowego na pole trójkąta
- albo zamieniasz na wektory i liczysz metodą wektorową
- albo liczysz wszystkie 3 długości boków i wzór Herona

h -> wzór prostej AC i wzór na odległość punktu (B) od prostej (AC)

2) \(\displaystyle{ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} = \vec{c}}\)
jedziesz po współrzędnych - układ 3 równań z dwiema niewiadomymi
\(\displaystyle{ \alpha a_{x1} + \beta b_{x1} = c_{x1}}\)
itd.

[spirit_wizard]

Jak w 2 uzasadnić ze są komplanarne ?
Wektory komplanarne= zależne liniowo , równoległe do tej samej płaszczyzny.

To ze zależne liniowo wyznaczy policzyć wyznacznik , który wychodzi 0 wiec są zależne , ale jak sprawdzić czy są równolegle do tej samej płaszczyzny?

[Inkwizytor]

To ze zależne liniowo wyznaczy policzyć wyznacznik , który wychodzi 0 wiec są zależne , ale jak sprawdzić czy są równolegle do tej samej płaszczyzny?

Wektory liniowo zależne ZAWSZE leżą w jednej płaszczyźnie