Przemienność mnożenia macierzy. Ciekawy przykład

[mobopx]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\). Znajdź wszystkie macierze \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}x&y\\z&t\end{array}\right]}\), aby spełniały warunek: \(\displaystyle{ A \cdot B=B \cdot A}\)

Do dzieła:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}x&y\\z&t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x&y\\z&t\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

Co daje nam następującą równość:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}xz&yt\\z&t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x&xy\\z&zt\end{array}\right]}\)

I mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=xz\\xy=ty\\z=z\\zt=t\end{cases}}\)

którego rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\t=0\\z=dowolne\\y=dowolne\end{cases}}\)

Wszystko fajnie, gdyby nie sprawdzenie np.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0&4\\3&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&4\\3&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&4\\3&0\end{array}\right] \neq \left[\begin{array}{cc}0&4\\3&3\end{array}\right]}\)

Gdzie się zgubiłem?

[Lorek]

W mnożeniu macierzy.

[mobopx]

Hm... sprawdziłem. A w którym dokładnie?

[Lorek]

No w tym na początku. Nie zastanowiło cię to, że masz składniki typu \(\displaystyle{ xy}\), których nie powinno być? No chyba, że znasz jakąś inna definicję mnożenia macierzy

[mobopx]

No właśnie nie. Dla mnie to jest logiczne, chodzi o to żeby zrobić układ równań i z niego wyliczyć dla jakich \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) będzie spełniony ten warunek.

A mnożenie jak każde inne:

Pierwsze mnożenie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1 \cdot x+1 \cdot z&1 \cdot y+1 \cdot t\\0 \cdot x+1 \cdot z&0 \cdot y+1 \cdot t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}xz&yt\\z&t\end{array}\right]}\)

Ja widze tylko taki sposób żeby to rozwiązać. Jak ktoś ma inny to chętnie wysłucham bo nie wiem gdzie jest błąd

Acha tutaj był mój błąd w przepisywaniu, może dlatego Ci się nie zgadzało, już poprawiłem ale nadal nic to nie daje...

Co daje nam następującą równość:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}xz&yt\\z&t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x&xy\\z&zt\end{array}\right]}\)

[Lorek]

A od kiedy to \(\displaystyle{ 1\cdot x+1\cdot z=xz}\)? (itd.)

[mobopx]

o f**k zwracam honor

Masz jakiś pomysł?

[Lorek]

Tak, mam, policz to dobrze, wychodzi nawet łatwiej niż w wersji z mnożeniem.

[mobopx]

Tak jest, zgadza się teraz.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x+z&y+t\\z&t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x&x+y\\z&z+t\end{array}\right]}\)

Rozwiązanie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\t=0\\z=0\\y=dowolne\end{cases}}\)

Sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0&3\\0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&3\\0&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&3\\0&0\end{array}\right] \neq \left[\begin{array}{cc}0&3\\0&0\end{array}\right]}\)

Miałem wcześniej zadanie dla jakich \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) macierz \(\displaystyle{ A ^{2}=0}\)
Identyczna metoda i tam zrobiłem dobrze z dodawaniem. A to oznacza że pora spać

Dzięki za pomoc

[Lorek]

No ja bym powiedział, że rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ \begin{cases}z=0\\x=t\\y\in\mathbb{R}\end{cases}}\)

[mobopx]

Zgadza się szefie