Wielomiany, podprzestrzenie, wymiar i baza

[johanneskate]

Udowodnić, że wielomiany stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych tworzą przestrzeń wektorową nad R. Czy następujące podzbiory są jej podprzestrzeniami wektorowymi? Jeśli tak to znaleźć ich wymiar i bazę.
a) wielomiany, których pierwiastkiem jest pewna ustalona liczba r należąca do R
b) wielomiany, których pierwiastkiem k-krotnym jest pewna ustalona liczba r należąca do R
c) wielomiany, których pierwiastkiem co najmniej k-krotnym jest pewna ustalona liczba r należąca R.


Moja walka z tym zadaniem wygląda następująco.

Dowodu na pytanie nr 1 w zadaniu nigdzie nie mogę znaleźć, a sam nie wiem jak zacząć. Po prostu sprawdzać te kilka podpunktów dotyczących przestrzeni? Jeśli tak, to w jaki sposób zapisywać te wielomiany.

ad a) wydaje się, że tak.
Niech
\(\displaystyle{ K(x)= \alpha (1,x,....) \\
K _{n} (x)=\alpha (1,x,....,x^{n}) \\
W=\alpha((x-r),...,(x-r)x^{n-1}) \\
a _{0}(x-r)+...+a _{n-1}(x-r)x^{n-1}}\)
To chyba wystarcza, żeby pokazać, że jest podprzestrzenią. Jak widać, da się to zapisać w postaci takiej jak przestrzeń wielomianów jedynie ze zmienionymi współczynnikami.
Bazy i wymiaru nie umiem tutaj policzyć.

ad b) tu jest jakiś problem z pierwiastkiem równym zero. Tylko jaki, pomoże ktoś?

ad c) tu mamy to samo co w a, lekko zmodyfikowane. Ale jaka jest baza i wymiar również nie wiem.

Dziękuję za zerknięcie okiem i proszę o pomoc.