Układ równań z macierzy

[firUEP]

\(\displaystyle{ \begin{cases} mx+y+z=1 \\ x+my+z=1 \\ x+y+mz=1 \\ x+y+z=3 \end{cases}}\)

Dla jakich wartości parametru m ten układ jest sprzeczny??

[Qń]

Wskazówka:
Oczywiście rząd macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
m&1&1\\
1&m&1\\
1&1&m\\
1&1&1\end{bmatrix}}\)
jest mniejszy od czterech.
Jeśli więc rząd macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
m&1&1&1\\
1&m&1&1\\
1&1&m&1\\
1&1&1&3\end{bmatrix}}\)
byłby równy cztery, to z tw. Kroneckera-Capellego dostalibyśmy od razu, że układ jest sprzeczny.
Rzeczony rząd jest równy cztery wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik tej macierzy jest niezerowy.

Tak więc należy policzyć ten wyznacznik, znaleźć jego miejsca zerowe (wyjdzie \(\displaystyle{ m=1}\) i \(\displaystyle{ m=-1}\)) i wówczas wiadomo, że dla \(\displaystyle{ m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}}\) układ jest sprzeczny, a dla \(\displaystyle{ m=1,-1}\) trzeba sprawdzić osobno.

(Uwaga: zadanie da się też w miarę prosto rozwiązać bez użycia macierzy, zaczynając od odjęcia czwartego równania od trzech pozostałych)

Q.