Baza przestrzeni liniowych

[Melzar]

Mam wątpliwość co do bazy a mianowicie

Aby, stwierdzić, że zbiór wektorów przestrzeni V jest bazą należy stwierdzić, czy baza składa się z wektorów liniowo niezależnych oraz czy zbiór tych wektorów generuje przestrzeń V

Rozumiem, że aby stwierdzić niezależność wektorów wystarczy obliczyć, wyznacznik z tych wektorów i jeżeli jest on różny od zera to są niezależne, czyli pierwszy warunek co do bazy jest sprawdzony, teraz co należy zrobić, aby sprawdzić czy generują one przestrzeń? Czy to, że są niezależne jednocześnie świadczy o tym, że generują przestrzeń czy jak?

Proszę o pomoc w rozwianiu wątpliwości.

[silvaran]

Baza przestrzeni liniowej to maksymalny[1] zbiór wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni.
Czyli należałoby wykazać, że dołożenie dowolnego wektora sprawi, że układ będzie liniowo zależny.

Niezależność nie gwarantuje tego, że układ generuje przestrzeń.
Prosty kontrprzykład: Baza przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) z trzech wektorów \(\displaystyle{ [1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}\)(oczywiście są one liniowo niezależne). Wyrzućmy jeden wektor (np \(\displaystyle{ [0,0,1]}\)). Mamy układ dwóch wektorów \(\displaystyle{ [1,0,0],[0,1,0]}\), są one liniowo niezależne, ale nie generują całej przestrzeni, bo za ich pomocą nie uzyskamy np wektora \(\displaystyle{ [0,0,1]}\).