macierz nieosobliwa

[aguuuuuusia]

witam
prosze o pomoc wtakim zadaniu
Wykazać ze dla dowolnych nieosobliwych macierzy A i B tego samego stopnia jest spełniony wzór (AB)^(-1)= B^(-1) * A^(-1).
Dziękuje za pomoc

[Lorek]

Dość oczywista wskazówka:
\(\displaystyle{ (AB)^{-1} (AB)=I}\)
i teraz spróbuj pozbyć się tego \(\displaystyle{ AB}\)

[aguuuuuusia]

czy może mi ktos sprawdzic dowod czy dobrze go przeprowadziłam

\(\displaystyle{ A \cdot B}\) macierz nieosobliwa co wynika z tego że \(\displaystyle{ det(A \cdot B)= det A \cdot detB}\) a to jest na pewno różne od zera z założenia ze A, B macierze nieosobliwe

skoro macierz \(\displaystyle{ A \cdot B}\) jest nieosobliwa to ma macierz odwrotną czyli \(\displaystyle{ AB ^{-1}}\)

\(\displaystyle{ AB=BA=I}\)

skoro macierz A jest nieosobliwa to ma macierz odwrotną czyli
\(\displaystyle{ B=A^{-1}}\)

skoro macierz B jest nieosobliwa to ma macierz odwrotną czyli
\(\displaystyle{ A=B^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A \cdot B= B^{-1} \cdot A \cdot {-1}\\

AB \cdot (AB)^{-1}=I}\)
czyli
\(\displaystyle{ B^{-1} \cdot A \cdot {-1} \cdot (AB)^{-1}=(AB)^{-1} \cdot [ B^{-1} \cdot A^{-1}]}\)
stad wynika że
\(\displaystyle{ (AB)^{-1}= B^{-1} \cdot A^{-1}}\)

DZIEKUJE:)

[Lorek]

AB=BA=I

skoro macierz A jest nieosobliwa to ma macierz odwrotną czyli
B=A^(-1)

skoro macierz B jest nieosobliwa to ma macierz odwrotną czyli
A=B^(-1)

A to skąd się wzięło? (Szczególnie ta pierwsza równość).

[aguuuuuusia]

AB=BA=I( to jest i nie jeden)
a to sie wzieło stad
Macierz A nazywamy macierza nieosobliwa jesli istenieje taka macierz B ze
A*B=B*A=I


to co w nawiasach to tez jest wziete z definicji macierzy nieosobliwych

... PU-SyqMaWA

[Lorek]

To się zgadza, ale jak rozpatrujesz wyłącznie macierz A, a nie jakieś inne. Równie dobrze można powiedzieć, że A jest nieosobliwa, jeśli istnieje taka macierz U, że \(\displaystyle{ AU=UA=I}\). Natomiast w tym zadaniu macierze A i B nie muszą mieć ze sobą nic wspólnego.