Rownanie macierzowe, macierz odwrotna , mnożenie

[spirit_wizard]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&...&1\\0&1&1&...&1\\0&0&1&...&1\\&&&...&\\0&0&0&...&1\end{array}\right] * X = \left[\begin{array}{ccccc}2&1&0&...&0\\1&2&1&...&0\\0&1&2&...&0\\&&&...&\\0&0&0&...&2\end{array}\right]}\)

Jak obliczyć takie macierze z kropkami ?
Robię tak :

\(\displaystyle{ AX = B}\)
\(\displaystyle{ X = A^{-1}B}\)

Tylko jak teraz wyznaczyć macierz odwrotną i jak potem pomnożyć? Pierwszy raz widzę macierze z takimi kropkami i nie mam pojęcia jak to zrobić , dlatego będę baaaardzo wdzięczny za pomoc.

[rodzyn7773]

Te macierze z kropkami są macierzami kwadratowymi stopnia n. Jak to zrobić? Wyznacznik macierzy A jest równy 1 (jest to macierz trójkątna górna więc jej wyznacznik jest równy iloczynowi liczb na diagonali) zatem istnieje do niej macierz odwrotna. Mnożymy tak jak masz czyli lewostronnie przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\). Jak otrzymać \(\displaystyle{ A^{-1}*B}\)?
Zapiszemy:
\(\displaystyle{ [A|B] \rightarrow [I|A^{-1}*B]}\)
Czyli za pomocą operacji wierszowych lub kolumnowych tak przekształcamy macierz A aby otrzymać z niej I. Wtedy po prawej stronie otrzymamy szukaną macierz X.
Jak otrzymać z macierzy A macierz I?
Odejmujemy kolejno:
\(\displaystyle{ w_1-w_2 \\ w_2-w_3 \\ ... \\ w_{n-1}-w_n}\)