Znaleźć bazę przestrzeni wielomianów co najwyżej 2-go st.

[patryk007]

Znaleźć bazę przestrzeni wielomianów co najwyżej \(\displaystyle{ 2-go}\) stopnia spełniających warunek
\(\displaystyle{ \omega (1) = \omega (2)}\). Rozszerzyć znalezioną bazę do bazy przestrzeni wszystkich wielomianów co najwyżej \(\displaystyle{ 3-go}\) stopnia.

_____ _____ _____

To co zrobiłem:
\(\displaystyle{ \omega (x)=ax^2+bx+c\\
\hbox{skoro} \; \omega (1) = \omega (2) \; \hbox{to:} \\
a+b+c=4a+2b+c \; \Leftrightarrow \; 3a+b=0}\)

A więc są to takie \(\displaystyle{ a,\; b,\; c}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\-3a\\c \end{bmatrix}=a\cdot\underbrace{\begin{bmatrix} 1\\-3\\0 \end{bmatrix}}_{\vec{v_a}}+b\cdot \vec{0}+c\cdot \underbrace{\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}}_{\vec{v_c}}}\)

W takim razie wg mnie wektory \(\displaystyle{ \vec{v_a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v_c}}\) (które są bazą) generują przestrzeń wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej 2-go i spełniającego warunek \(\displaystyle{ \omega (1) = \omega (2)}\).


Jeśli do tej pory nie kłamię to pora rozszerzyć to pora to rozszerzyć do bazy przestrzeni wszystkich wielomianów co najwyżej \(\displaystyle{ 3-go}\) stopnia.
Jak to zrobić i czy do tej pory dobrze to robię?


[ EDIT ]
Obawiam się, że coś ostro pomieszałem i w ogóle to co napisałem do tej pory jest źle. Może ktoś pomóc?

[Lorek]

Do momentu \(\displaystyle{ 3a+b=0}\) jest ok. A potem: wstawiając tę zależność do wzoru na \(\displaystyle{ w}\) mamy
\(\displaystyle{ w(x)=ax^2-3ax+c=a(x^2-3x)+c(1)}\)
czyli jako bazę możemy przyjąć \(\displaystyle{ \{x^2-3x,1\}}\). A jak ją rozszerzyć do bazy w3s? No przydałyby się w tej bazie wielomian 3. i 1. stopnia (żeby później móc generować takie wielomiany).