Kolokwium - algebra liniowa.

[DBoniem]

1.
a) Niech \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)będzie przestrzenią liniową wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\). Pokaż, że wektory (wielomiany) \(\displaystyle{ 1,x+1, x^{2}+1}\)\(\displaystyle{ }\) są w bazą tej przestrzeni i znajdź współrzędne wektora \(\displaystyle{ 1-x- x^{2}}\)w tej bazie

b)Stosując dowód nie wprost, udowodnij, że wyznaczone współrzędne są jednoznaczne.

z czego tutaj skorzystać?

[Lorek]

Z definicji bazy? a w b) to nawet masz napisane z czego I popraw temat, bo ten to jest o niczym

[DBoniem]

czyli:

\(\displaystyle{ a(1)+b(x+1)+c(x^{2} + 1 ) \equiv 0}\)
\(\displaystyle{ a+bx+b+c x^{2}+c \equiv 0}\)
\(\displaystyle{ cx^{2}+bx+a+b+c \equiv 0}\)
czyli:

\(\displaystyle{ c=b=a+b+c=0 \Rightarrow a=b=c=0}\) więc wektory są liniowo niezależne.

sprawdzamy teraz drugi warunek czy wektory(wielomiany) generują przestrzeń V

[Lorek]

Tak, nawet podobnie do 1. będzie to szło.

[DBoniem]

\(\displaystyle{ span \left\{1 ,x+1,x^{2} +1\right\}}\)
tylko jak to dalej rozpisać?

[Lorek]

Spróbuj pokazać, że każdy wielomian stopnia co najwyżej 2. da się zapisać jako kombinację wektorów z bazy.

[DBoniem]

dalej nie wiem jak....

lecz potrafię zrobić 2 część zadania z pkt a)
współrzędne wektora w bazie

\(\displaystyle{ p=-x^{2} - x +1 \in R_{2}[x], B=\left\{ 1,x+1,x^{2}+1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ v1=1, \ v2=x+1, \ v3= x^{2}+1}\)

\(\displaystyle{ p= \alpha1v1 + \alpha2v2 + \alpha3v3}\)

\(\displaystyle{ -x^{2} - x +1= \alpha1 * 1 + \alpha2*(x+1)+ \alpha3*(x^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ -x^{2} - x +1= \alpha1 +x* \alpha2 + \alpha2 + x^{2}* \alpha3 + \alpha3}\)
\(\displaystyle{ -x^{2} - x +1=x^{2}* \alpha3 +x* \alpha2+ \alpha1 \alpha2 \alpha3}\)

z równości wielomianów wynika równość współczynników przy odpowiednich potęgach x
\(\displaystyle{ -1= \alpha3}\)
\(\displaystyle{ -1= \alpha2}\)
\(\displaystyle{ 1= \alpha1 + \alpha2 + \alpha3}\)
\(\displaystyle{ \alpha1=3 \ \ \alpha2=-1 \ \ \alpha=-1}\)

współrzędne wektora w bazie są równe \(\displaystyle{ [ \alpha1, \alpha2, \alpha3]}\)
\(\displaystyle{ [3,-1,-1]}\)

[Lorek]

Indeksy dolne \(\displaystyle{ a_{21}}\) ->

Kod: Zaznacz cały

 [tex]a_{21}[/tex]

Skoro znalazłeś współrzędne dla \(\displaystyle{ -x^2-x+1}\) to teraz sprawdź czy dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) da się znaleźć jego współrzędne przy tej bazie.

[DBoniem]

ok. czyli

\(\displaystyle{ a* x^{2}+ bx + c= \alpha _{1}*(1)+ \alpha _{2}(x+1)+ \alpha _{3}( x^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ a* x^{2}+ bx + c= x^{2}* \alpha _{3}+x* \alpha _{2}+ \alpha _{1}+ \alpha _{2}+ \alpha _{3}}\)
czyli:

\(\displaystyle{ a= \alpha _{3} \ \ \ b= \alpha _{2} \ \ \ c= \alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3}}\)

więc da się znaleźć odpowiednie współrzędne, a jeśli to jest dobrze, to jak formalnie zapisać to za pomocą span(lin)?-- 16 sty 2011, o 00:13 --a co z przykładem b)?

[Lorek]

No na razie to nie widzę, że się da, bo masz znaleźć \(\displaystyle{ \alpha_i}\) przy danych \(\displaystyle{ a,b,c}\), a formalnie to będzie
"\(\displaystyle{ span \{1,x+1,x^2+1\}=R_{2}[x]}\) bo dla każdego \(\displaystyle{ w(x)\in R_{2}[x]}\) istnieją takie \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\in\mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ w(x)\equiv \alpha_1(1)+\alpha_2(x+1)+\alpha_3(x^2+1)}\)"
+ dowód, że rzeczywiście istnieją.

a co z przykładem b)?

w pierwszym poście:

b)Stosując dowód nie wprost

[DBoniem]

czyli można założyć, że są niejednoznaczne i z tego dojść do sprzeczności?

[Lorek]

Tak.