Czy w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}}\) podany układ wektorów jest liniowo niezależny:
a) \(\displaystyle{ \{x, \;\sin{x}, \; \cos{x}\}}\)
b) \(\displaystyle{ \{\sin{x}, \; \cos{x} \; \sin{2x} \; \cos{2x}\}}\)
c) \(\displaystyle{ \{\cos{2x}, \; \sin^{2}{x}\; \cos^{2}{x}\}}\)
?
Napiszę jak próbuję. Ad a) :
Jeśli \(\displaystyle{ \exists_{a,b,c} \; \forall_{x} \quad a\cdot x + b\cdot \sin{x} + c\cdot \cos{x}=0 \quad \Rightarrow \quad a,b,c=0}\) to układ liniowo niezależny.
Nie jestem pewny poprawności kolejności kwantyfikatorów. Czy jest dobra (\(\displaystyle{ \exists_{a,b,c} \; \forall_{x}}\))? Czy powinno być \(\displaystyle{ \forall_{x} \; \exists_{a,b,c}}\)?
Dobra jest, w tym drugim przypadku oznaczałoby to, że dla różnych \(\displaystyle{ x}\) moglibyśmy dobrać inne \(\displaystyle{ a,b,c}\), a te wartości mają być takie same dla każdego \(\displaystyle{ x}\).
Noo jak jest liniowa niezależność to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) A jak sprawdzić czy jest? Na przykład masz \(\displaystyle{ a\cdot x + b\cdot \sin{x} + c\cdot \cos{x}=0}\)
weź powstawiaj parę wartości w miejsce \(\displaystyle{ x}\) i zobacz co wyjdzie.
Witam!
Przepraszam że odświeżam temat, ale widzę że sprawa nie zamknięta, a chyba nie warto zaśmiecać forum nowym. A mam wprost identyczne zadanie =)
Zasugerowałem się wypowiedzią kolegi Lorka i podstawiłem parę wartości.
a) \(\displaystyle{ \hbox{dla x=0} \quad a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 0}\)
Czyli właściwie sprawa rozwiązana? Pod a i b możemy podstawiać dowolne liczby, a i tak będzie zwracane 0. Czyli układ liniowo zależny
No i podobnie ma się sprawa z pozostałymi dwoma układami. Przy podstawieniu \(\displaystyle{ x=0}\) zawsze przynajmniej jeden z parametrów (a,b,c,d) będzie mnożony przez 0 i tym samym można będzie w jego miejsce podstawić dowolną liczbę, czyli układ będzie liniowo zależny.
No dobra, ale: coś mi tu śmierdzi, to za łatwo wyszło =P
I druga sprawa: Jaką rolę gra tutaj element "w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}}\)"?
Hmm, ale to ja muszę dążyć do odnalezienia takiej kombinacji? Tzn. nie wiem czy dobrze zrozumiałem.
Nietrywialna kombinacja to taka, że żaden z wektorów nie jest 0, tak? No i wtedy nie ma już tak łatwo, że można sobie pod któryś współczynnik podstawić cokolwiek i mamy z głowy.
No a jak przynajmniej jeden jest to już jest trywialna?
No ale to i tak nic nie zmienia. Nie musimy odnaleźć nietrywialnego przykładu żeby wykazać że dany układ nie jest liniowo niezależny, prawda? Wystarczy że pokażemy istnieje taki współczynnik (a,b,c czy co tam jeszcze) różny od 0, aby układ był równy 0, zgadza się?
Nietrywialna kombinacja to taka, że żaden z wektorów nie jest 0, tak
Nie. Nietrywialna kombinacja to taka, że przynajmniej jeden jej wspólczynnik jest różny od zera.
Znalezienie chociaż jednej takiej nietrywialnej kombinacji równej zeru udowadnia liniową zależność układu.
Mamy ten nieszczęsny układ: \(\displaystyle{ \{\cos{2x}, \; \sin^{2}{x}, \; \cos^{2}{x}\}}\)
Dorzucę do niego współczynniki: \(\displaystyle{ \{a\cos{2x}, \; b\sin^{2}{x}, \; c\cos^{2}{x}\}}\)
I teraz tak: żeby układ był liniowo niezależny to \(\displaystyle{ a\cos{2x}+ b\sin^{2}{x}+ c\cos^{2}{x}=0 \Leftrightarrow a=b=c=0}\)
No i teraz tak. Ja sobie wezmę za x podstawię 0. I mam wtedy: \(\displaystyle{ a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1=0}\)
No i jest to układ zależny bo dla x=0 istnieje takie b różne od 0 że układ wyniesie 0. Zgadza się?-- 8 lis 2011, o 19:35 --Zastanawia mnie tylko jedno: czy ja mogę sobie tak żonglować tym x-em?
To "żonglowanie" \(\displaystyle{ x}\)-em jest pomocne, ale nie zawsze wystarczy do rozwiązania zadania (częściej można pokazać w ten sposób, że układ jest niezależny). Za każdym podstawieniem jakiegoś \(\displaystyle{ x_0}\) otrzymujesz równanie ze zmiennymi (w tym przypadku) \(\displaystyle{ a,\ b,\ c}\), więc podstawiając kilka \(\displaystyle{ x}\)-ów otrzymujesz kilka równań, z których możesz zrobić układ i sprawdzić, czy ma niezerowe rozwiązanie. Jak nie ma - układ jest niezależny.
Lorek pisze:To "żonglowanie" \(\displaystyle{ x}\)-em jest pomocne, ale nie zawsze wystarczy do rozwiązania zadania (częściej można pokazać w ten sposób, że układ jest niezależny).
Hmm, a nie chodziło o zależny? Przecież w tym przykładzie dzięki żonglowaniu \(\displaystyle{ x}\)-em pokazałem właśnie że układ jest zależny, prawda?
PS I takie rozwiązanie zadania jest całkowicie poprawne? Jeżeli tak to w takim razie wszystkie ww układy są liniowo zależne, bo możemy tak dobrać x, aby jakiś element wyniósł 0, zgadza się?
No tak jak tam zrobiłem: \(\displaystyle{ a\cos{2x}+ b\sin^{2}{x}+ c\cos^{2}{x}=0 \Leftrightarrow a=b=c=0}\)
Pod x podstawiam 0 i mam: \(\displaystyle{ a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1=0}\)
No i teraz niech nawet \(\displaystyle{ a=c=0}\). To mi nie przeszkadza bo pozostaje mi b, pod które mogę podstawić \(\displaystyle{ 1, 2, 12510609160961209162, 67890987654356789098765}\) i co tylko mi się żywnie spodoba, a i tak wynik wyjdzie zero, czyli układ jest liniowo zależny bo \(\displaystyle{ b \neq 0}\) =)
No masz rację. O ile tylko ograniczysz się do takiej oto dziedziny: \(\displaystyle{ \{0\}}\).
To może inaczej, bo coś dziwnie to napisałem wcześniej. Chcemy sprawdzić, czy zbiór \(\displaystyle{ \{\cos 2x,\cos^2 x,\sin^2 x\}}\) jest liniowo zależny. Jest to równoważne zbadaniu kiedy funkcja \(\displaystyle{ u(x)=a\cos 2x+b\sin^2 x+c\cos^2 x}\)
jest tożsamościowo równa 0. Jak tylko dla \(\displaystyle{ a=b=c=0}\), to układ jest liniowo niezależny, a jak nie to nie. Zatem skoro ma być tożsamościowo równa 0, to tym bardziej jest równa 0 dla wybranych punktów. Licząc wartości tej funkcji otrzymujemy jakieś równania zmiennych \(\displaystyle{ a,\ b,\ c}\). Te równania to warunki konieczne na to, aby funkcja była tożsamościowo równa 0. Jak już zbierzemy kilka tych równań, to możemy stworzyć układ równań i sprawdzić jakie ma rozwiązania. Jak tylko zerowe - układ jest liniowo niezależny. Jak niezerowe, to nie wiadomo, można spróbować podstawić i sprawdzić, czy nie wychodzi jakaś tożsamość.
Czyli tak jakby staramy się sprawdzić czy układ jest liniowo niezależny bez względu na x?
No dobra, to weźmy za x np.: 0, \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) \(\displaystyle{ u(0)=a+c \\ u(\frac{\pi}{2})=-a+b \\ u(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}b+\frac{3}{4}c}\)
Zapisałem to w układzie równań (przyrównując do 0) i wyszedł mi nieoznaczony układ równań. Co to oznacza?
