Przekształcenie odwrotne...

[DBoniem]

Niech \(\displaystyle{ T: R^{3} \rightarrow R^{3}}\)będzie zdefiniowana w następujący sposób:

\(\displaystyle{ T([x,y,z])=[2x-y,-x+2y-z,z-y])}\)

Wyznacz przekształcenie odwrotne T^{-1} oraz jego macierz w bazie standardowej \(\displaystyle{ [1,0,0]}\), \(\displaystyle{ [0,1,0]}\), \(\displaystyle{ [0,0,1]}\). Jaką macierz ma przekształcenie T w tej bazie?

[emilas]

Wystarczy że znajdziesz macierz odwrotną do poniższej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}}\)

[DBoniem]

Czyli:
det tej macierzy wynosi 1, różny od zeraz

Korzystając z dopełnienia algebraicznego macierzy można obliczyć, że ta macierz to

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ T^{-1} ([x,y,z])=[x+y+z, x+2y+2z, x+2y+3z]}\)
więc teraz obliczając macierz przekształceń \(\displaystyle{ T^{-1}}\) można obliczyć, że

\(\displaystyle{ T^{-1}(1,0,0)=(1,1,1,)}\)
\(\displaystyle{ T^{-1}(0,1,0)=(1,2,2)}\)
\(\displaystyle{ T^{-1}(0,0,1)=(1,2,3)}\)

więc macierzą tą jest:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}}\)
czyli dokładnie to samo co wyszło w \(\displaystyle{ T^{-1}}\)