Macierz przekształcenia liniowego

[DBoniem]

Wyznacz macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ T([x,y])=[x+y,-2x+4y]}\)
w bazie \(\displaystyle{ u1=[1,1]}\), \(\displaystyle{ u2=[1,2]}\)

\(\displaystyle{ L(1,1)=(2,2)}\)
\(\displaystyle{ L(1,2)=(2,6)}\)

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{ c c }
2 & 2 \\
2 & 6
\end{array} \right]}\)
czy tak należało to zrobić?

[Mortify]

No dobra, ale \(\displaystyle{ T}\) to jest przekształcenie z\(\displaystyle{ R^2}\) w \(\displaystyle{ R^2}\), a ta baza co podałeś to baza dziedziny czy przeciwdziedziny?

Bo druga baza to rozumiem, że standardowa (czyli [1,0], [0,1]).
Jeśli to baza dziedziny to jest ok.

[Qń]

Sformułowanie "macierz przekształcenia w bazie" oznacza raczej, że podana baza jest zarówno wyjściowa jak i docelowa, zatem powinno być:
\(\displaystyle{ T(1,1)=(2,2) = 2 \cdot (1,1) + 0 \cdot (1,2)\\
T(1,2)=(3,6) = 0 \cdot (1,1) + 3 \cdot (1,2)}\)
więc macierzą jest:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ c c } 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right]}\)

Q.

[DBoniem]

a skąd wynika te mnożenie \(\displaystyle{ 2*(1,1)+0*(1,2)}\)?

[Qń]

a skąd wynika te mnożenie

To mnożenie.

Wartości przekształcenia na wektorach bazy wyjściowej zostały zapisane jako liniowe kombinacje wektorów bazy docelowej (u nas wyjściowa i docelowa to ta sama baza, w ogólności tak być nie musi). Macierz przekształcenia w naszej bazie to macierz, której kolumnami są współczynniki poszczególnych kombinacji.

Q.