Równanie rekurencyjne

[luka52]

Mając równanie postaci \(\displaystyle{ x_{k+2} = x_k f(k)}\) gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją wymierną, jaka jest w miarę ogólna metoda rozwiązywania takich równań?

edit:
zdaje się, że jeżeli \(\displaystyle{ f(k) = a \frac{(k - k_1) \cdot \ldots \cdot (k - k_n)}{(k - k_{n+1}) \cdot \ldots \cdot (k - k_n)}}\), to \(\displaystyle{ x_{2k} = x_0 a^k \frac{(2k-k_1) !! \cdot \ldots \cdot (2k-k_n)!!}{(2k-k_{n+1}) !! \cdot \ldots \cdot (2k-k_m)!!}}\)
zgadza się?

[marcinz]

Zapis \(\displaystyle{ (2k-k_1) !!}\) jest dla mnie trochę niezrozumiały (znam definicję tego symbolu tylko dla liczb nieujemnych, a tu przynajmniej kilka razy może się zdarzyć, że \(\displaystyle{ 2k-k_1 < 0}\)). A w tym zadaniu chyba można po prostu napisać trochę równości i wyjdzie coś w tym stylu co zaproponowałeś:
\(\displaystyle{ x_{k+2} = x_k f(k)=(x_{k-2} f(k-2)) f(k) = x_{k-2} f(k-2) f(k)= \newline x_{k-4} f(k-4) f(k-2) f(k)=...}\) (i gdy k jest np. parzyste)\(\displaystyle{ =f(k) f(k-2) ...f(2) f(0) x_0}\). Przepraszam za wygląd ostatniej linijki, ale ładniej nie chciało mi wyjść .

[luka52]

No tak, ogólnie ta podwójna silnia się nie sprawdza. Ew. wyciągnąć (-1) przed nawias z tych "wątpliwych" członów.
Chyba rzeczywiście jednak lepiej ogólnie zostawić to jako \(\displaystyle{ f(k)f(k-2) \ldots f(0) x_0}\) a dalej kombinować na konkretnym przykładzie.