podprzestrzeń liniowa

[ares41]

Wykaż, że zbiór wszystkich wektorów \(\displaystyle{ \{|V^1_{\perp}\rangle;|V^2_{\perp}\rangle;...\}}\) prostopadłych do dowolnego wektora \(\displaystyle{ |V\rangle \neq |0\rangle}\) tworzy w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb V^{n}}\) podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb V^{n-1}}\).

[fon_nojman]

Skorzystaj z liniowości iloczynu skalarnego na drugim miejscu

\(\displaystyle{ \langle V| \alpha V_1 + \beta V_2 \rangle =\alpha \langle V| V_1 \rangle + \beta \langle V| V_2 \rangle = \ldots}\)

gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in K,\ V_1, V_2 \in \{|V^1_{\perp}\rangle;|V^2_{\perp}\rangle;...\}.}\)

[ares41]

Nie jestem pewien czy dobrze zrozumiałem o co Ci chodziło

Mamy:
\(\displaystyle{ \langle V| \alpha V_1 + \beta V_2 \rangle =\alpha \langle V| V_1 \rangle + \beta \langle V| V_2 \rangle}\)

Wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny jest równy \(\displaystyle{ 0}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \alpha \langle V| V_1 \rangle + \beta \langle V| V_2 \rangle=0\\ \langle V|(\alpha |V_1\rangle+\beta |V_2\rangle )=0\\ |V\rangle^{*} (\alpha |V_1\rangle+\beta |V_2\rangle )=0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ |V\rangle \neq |0\rangle}\) to również \(\displaystyle{ |V\rangle^* \neq |0\rangle}\),
więc:
\(\displaystyle{ |V\rangle^{*} (\alpha |V_1\rangle+\beta |V_2\rangle )=0 \Leftrightarrow \alpha |V_1\rangle+\beta |V_2\rangle =0}\)
(pomijam prostopadłość tych wektorów, bo z założenie one takie są)

\(\displaystyle{ \alpha |V_1\rangle+\beta |V_2\rangle =0 \Rightarrow |V_1\rangle=- \frac{\beta}{\alpha} |V_2\rangle}\)

Wektory te są liniowo zależne, więc wszystkie możliwe kombinacje liniowe wektorów również należą do zbioru \(\displaystyle{ \{|V^1_{\perp}\rangle;|V^2_{\perp}\rangle;...\}}\)

Dobrze?

[fon_nojman]

Nie za dobrze.

Pokażemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{V}_{\perp}=\{|V^1_{\perp}\rangle;|V^2_{\perp}\rangle;...\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{V}^n.}\) Wystarczy pokazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in K,\ V_1, V_2 \in \mathbb{V}_{\perp}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \alpha V_1 + \beta V_2\in \mathbb{V}_{\perp}}\)

\(\displaystyle{ \langle V| \alpha V_1 + \beta V_2 \rangle =\alpha \langle V| V_1 \rangle + \beta \langle V| V_2 \rangle = 0+0=0}\)

czyli jest ok.

Teraz, że \(\displaystyle{ \mathbb{V}_{\perp}}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n-1.}\)
Każdy \(\displaystyle{ V_{\perp}\in \mathbb{V}_{\perp}}\) jest postaci \(\displaystyle{ V_{\perp}=a_1 V_1+\ldots +a_n V_n,\ a_i \in K,\ i=1,\ldots ,n}\) gdzie \(\displaystyle{ V_1,\ldots ,V_n}\) jest bazą protopadłą w \(\displaystyle{ \mathbb{V}^n}\) taką, że \(\displaystyle{ V_1=V}\) czyli \(\displaystyle{ \langle V|V_{\perp} \rangle =0.}\) Stąd łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ a_1=0.\ V_1, \ldots ,V_n}\) jest oczywiście bazą w \(\displaystyle{ \mathbb{V}_{\perp}.}\)

[ares41]

Dzięki