[Macierze]Jak rozwiązać układ równań metodą macierzow

tomek3232 · Post autor: **tomek3232** » 1 gru 2006, o 11:43

Taj jak wyżej czy może mi ktoś pomóc jak się rozwiązuje układ równań metodą macierzową o wymiarze 3x3 a X=A-1*B (-1 powinno być w indeksie górnym ale coś mi nie wyszło smile.gif)
Prosze o pomoc ponieważ nigdzie nie mogę tego znależć a jutro mam sprawdzian
może mi ktoś wytłumaczy to na przykładzie, albo da odpowiedniego linka
pozdrowienia

początkujący · Post autor: **początkujący** » 1 gru 2006, o 13:57

a jaki masz przykład zadania?

aikon · Post autor: **aikon** » 1 gru 2006, o 22:22

Rozumiem, że chodzi o metodę macierzy odwrotnej?

Może wytłumaczę na przykładzie.

Załóżmy, że masz układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x+y+z=5\\2x+2y+z=3\\3x+2y+z=1\end{array}}\)

Współczynniki przy niewiadomych możesz zapisać w postaci macierzowej:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&1\\3&2&1\end{array}\right]}\)

Układ równań w postaci macierzowej, zgodnie ze wzorem który podałeś, czyli \(\displaystyle{ X=A^{-1}B}\) ma postać:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = ft[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&1\\3&2&1\end{array}\right]^{-1} ft[\begin{array}{ccc}5\\3\\1\end{array}\right]}\)

Żeby rozwiązać układ, musisz znaleźć macierz odwrotną do macierzy A. Jest z tym trochę obliczeń.
Wzór ogólny jest taki:
\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} ft[\begin{array}{ccc}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{array}\right]^{T}}\)

Będzie Ci do tego potrzebny wyznacznik macierzy A oraz współczynniki \(\displaystyle{ D_{ij}}\).

Wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&1\\3&2&1\end{array}\right| = -1}\)

Te współczynniki D wylicza się poprzez obliczanie wyznaczników powstałych poprzez skreślenie poszczególnych wierszy i kolumn macierzy A i pomnożenie ich przez -1 podniesione do potęgi i+j (gdzie i to numer skreślonego wiersza, j to numer skreślonej kolumny). Czyli np. D11 to wyznacznik powstały przez skreślenie 1 kolumny i 1 wiersza pomnożony przez -1 do potęgi 1+1.

Czyli:
\(\displaystyle{ D_{11} = (-1)^{1+1} ft|\begin{array}{ccc}2&1\\2&1\end{array}\right| = 0 \\
D_{12} = (-1)^{1+2} ft|\begin{array}{ccc}2&1\\3&1\end{array}\right| = 1 \\
D_{13} = -2 \\
D_{21} = 1\\
D_{22} = -2\\
D_{23} = 1\\
D_{31} = -1 \\
D_{32} = 1\\
D_{33} = 0\\}\)

No to podstawiając do wzoru który dałem wyżej:
\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} ft[\begin{array}{ccc}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{array}\right]^{T}}\)

\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{-1} ft[\begin{array}{ccc}0&1&-2\\1&-2&1\\-1&1&0\end{array}\right]^{T} = ft[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-1&2&-1\\2&-1&-0\end{array}\right]}\)

Masz już macierz odwrotną, więc możesz podstawiać do wzoru \(\displaystyle{ X=A^{-1}B}\).

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = ft[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\-1&2&-1\\2&-1&-0\end{array}\right]
ft[\begin{array}{ccc}5\\3\\1\end{array}\right]}\)

Teraz wystarczy tylko pomnożyć macierze i masz wynik:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=0\\z=7\end{array}}\)

tomek3232 · Post autor: **tomek3232** » 1 gru 2006, o 23:48

ok, wielkie dzięki
a czy by mi ktoś pomógł z teorią Kroneckera Capelliego
Oj chyba zaczynam to łapać (może dam sobie rade sam)

aikon · Post autor: **aikon** » 2 gru 2006, o 00:06

No dużo do rozumienia tutaj nie ma.

Układ równań liniowych postaci \(\displaystyle{ AX=B}\) ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej (czyli macierz główna uzupełniona o jeszcze jedną kolumnę - kolumnę wyrazów wolnych). Czyli: \(\displaystyle{ rzA = rz[A|B]}\).
Ponadto jeśli:
\(\displaystyle{ rzA rz[A|B]}\), to układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny)
\(\displaystyle{ rzA = rz[A|B]=n}\), to układ ma dokładnie 1 rozwiązanie (układ oznaczony)
\(\displaystyle{ rzA = rz[A|B]=r < n}\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(\displaystyle{ n-r}\) parametrów (układ nieoznaczony). Przez n oznaczamy liczbę niewiadomych, a r to rząd macierzy rozszerzonej.

Potrzebujesz jakiegoś przykładu, żeby to załapać?

tomek3232 · Post autor: **tomek3232** » 2 gru 2006, o 14:18

w sumienie nie jest to trudne
tylko czy może mi ktoś jeszcze powiedzieć kiedy się stosuje którą metodę
wyznaczników (chyba się jej nie stosuje kiedy w=0)
macierzy odwrotnej (a tą zawsze można zastosować?)
Kroneckera Capelliego - (tutaj chyba można ją stosować jak w=0)
napiszcie czy dobrze myślę

aikon · Post autor: **aikon** » 2 gru 2006, o 14:28

Zazwyczaj metoda jest zadana i stosuje się tą, którą kazali zastosować

Metodę wyznaczników stosuje się dla układów Cramera, czyli tylko wtedy gdy wyznacznik jest różny od zera. Metodę macierzy odwrotnej można zastosować też do układów Cramera, ale jest żmudna i ja jej nie lubię. Najłatwiej układy rozwiązuje się (moim zdaniem) poprzez eliminację Gaussa, polegającej na doprowadzeniu macierzy do postaci z jedynkami na przekątnej i zerami na pozostałych pozycjach.

tomek3232 · Post autor: **tomek3232** » 2 gru 2006, o 14:41

A kiedy się stosuje metode Kroneckera Capelliego

aikon · Post autor: **aikon** » 2 gru 2006, o 14:50

Przyjęta metoda zależy tylko od Ciebie.

Ja używam Gaussa, bo jakoś wydaje mi się prostsza.
W każdym razie jedyne warunki rozwiązalności układu to:
det(A)≠0. (twierdzenie Cramera)
rzA = rzB (twierdzenie Kroneckera-Capelliego)

(A - macierz główna, B - macierz rozszerzona o kolumnę wyrazów wolnych)

tomek3232 · Post autor: **tomek3232** » 2 gru 2006, o 19:18

A czy ktoś by umiał rozwiązać to równanie metodą Kroneckera Capelliego
robiłem je metodą wyznaczników i macierzy odwrotnej ale tą metodą nie potrafie zrobić:

2x-y+z=1
y-2z=2
x+2y=5

aikon · Post autor: **aikon** » 2 gru 2006, o 20:58

To jest tak, że twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala na określenie ile układ ma rozwiązań. Obliczając rząd macierzy głównej A oraz macierzy rozszerzonej [A|B], możesz ustalić czy układ jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. Ale chcąc znaleźć to rozwiązanie, musisz i tak skorzystać np. z metody Gauss'a.

`vekan · Post autor: **`vekan** » 2 gru 2006, o 21:04

a po za tym po co ci to. Są inne bardziej skuteczne środki których się używa. A metoda Kroneckera-Capellego jest bo po prostu musi być.

tomek3232 · Post autor: **tomek3232** » 2 gru 2006, o 21:16

wiem
tylko że ja jutro mam kolokwium i napewno będzie twierdzenie Kroneckera Capelliego
To ile według was ten układ ma rozwiązań (pokażcie jak to obliczyliście tą metodą)

[ Dodano: 2 Grudzień 2006, 23:57 ]
2x-y+z=1
y-2z=2
x+2y=5

czy dobrze obliczyłem że w(r)=u(r)=3
czyli układ ma tylko jedno rozwiązanie?
ponieważ r=n

[ Dodano: 3 Grudzień 2006, 17:32 ]
Wielkie dzięki panowie
Dostałem 4
tylko 4 bo nie do końca załapałem twierdzenie Kroneckera-Capellego
ale teraz już wiem o co w nim chodzi