Mnożenie równań macierzowych

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 27 gru 2010, o 19:57

W jaki sposób (i dlaczego) należy mnożyć równania macierzowe przez macierze odwrotne? Jeśli miałbym do rozwiązania np. coś takiego:

\(\displaystyle{ A \cdot X = B}\) gdzie X to szukana macierz.

to mam \(\displaystyle{ AA^{-1} X = A^{-1} B}\) czy może \(\displaystyle{ AA^{-1} X = BA^{-1}}\) ? Jaka jest ogólna reguła gdyby macierzy po lewej stronie było więcej?

Mikolaj9 · Post autor: **Mikolaj9** » 27 gru 2010, o 20:45

Po jednej stronie chcesz otrzymać macierz z niewiadomymi . Jedyna rzecz, o której tu trzeba pamiętać, to to, że mnożenie macierzy nie musi być przemienne (czyli istotne jest to czy mnożysz obustronnie przez macierz z prawej czy lewej strony).

W tym wypadku powinno być:

\(\displaystyle{ AX=B}\)

\(\displaystyle{ A^{-1}AX=A^{-1}B}\)

\(\displaystyle{ X=A^{-1}B}\)

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 27 gru 2010, o 21:11

A jeśli mam równanie \(\displaystyle{ AXB=C}\)to \(\displaystyle{ A^{-1}AXBB^{-1} = A^{-1}XB^{-1}}\) ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 gru 2010, o 00:33

No nie. A gdzie \(\displaystyle{ C}\) masz?

Tomek_Z · Post autor: **Tomek_Z** » 28 gru 2010, o 13:10

Tam po prawej stronie zamiast \(\displaystyle{ X}\) ma być \(\displaystyle{ C}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 gru 2010, o 13:11

No to w takim razie jest ok

kacperus · Post autor: **kacperus** » 9 wrz 2018, o 13:57

a czy mozna to tak też zrobić? \(\displaystyle{ AXB=C}\) to \(\displaystyle{ AA^{-1}XBB^{-1} = XA^{-1}B^{-1}}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 wrz 2018, o 14:06

Sam sobie odpowiedz: masz do dyspozycji takie reguły;
\(\displaystyle{ (AB)C=A(BC), \ A^{-1}A=AA^{-1}=I, \ AI=IA=A, \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}\)

I gdzieś Ci \(\displaystyle{ C}\) zniknęło.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 wrz 2018, o 15:00

I pamiętaj: mnożenie macierzy nie jest przemienne.

JK

kacperus · Post autor: **kacperus** » 9 wrz 2018, o 19:27

z tych reguł wnioskuję, że można tak zrobić, dziękuję.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 wrz 2018, o 19:47

kacperus pisze:z tych reguł wnioskuję, że można tak zrobić, dziękuję.

No to źle wnioskujesz. Może pokażesz, jak do tego doszedłeś?

JK

kacperus · Post autor: **kacperus** » 10 wrz 2018, o 11:32

doszedłem do tego w taki sposób, zapewne coś pomyliłem, proszę mnie poprawić jak coś jest nie tak:\(\displaystyle{ AXB=C}\)
\(\displaystyle{ AXBA^{-1}B^{-1} = CA^{-1}B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CA^{-1}B^{-1}}\)
wydaje mi się, że mnożę tutaj prawostronnie z obu stron.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 10 wrz 2018, o 11:47

Napisz to tak jak w podstawówce : każde działanie w nowej linii, w każdej linii piszesz przez co mnożysz I z której strony

kacperus · Post autor: **kacperus** » 10 wrz 2018, o 12:27

\(\displaystyle{ AXB=C /\cdot A^{-1}, \\
AXBA^{-1} = CA^{-1} / \cdot B^{-1} \\
AXBA^{-1}B^{-1} = CA^{-1}B^{-1} \\
A \cdot A^{-1}=I, B \cdot B^{-1}=I \\
I \cdot I \cdot X=CA^{-1}B^{-1}}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 10 wrz 2018, o 13:29

A gdzie tam masz \(\displaystyle{ AA^{-1}}\)??
To tak działa tylko wtedy, gdy te macierze są obok siebie. Jak są przedzielone czymś , to już klapa.

Matematyka.pl