Pytania do zadań i udzielenie podpowiedzi

[SerapH]

Witam,
mam kilka zadań do zrobienia, część zrobiłem i chciałbym skonsultować z Wami forumowiczami, czy aby na pewno je dobrze zrobiłem oraz poprosić o podpowiedzi i wskazówki do pozostałych.

1. Sprawdź liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ w_{1} = u_{1} + u_{2} - u_{3}; w_{2} = u_{1} - u_{2} + u_{3}; w_{3} = u_{3} + u_{2} - u_{1}}\)
jeśli wektory \(\displaystyle{ u_{1}, u_{2}, u_{3}}\) są liniowo niezależne.

moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ u_{1} = \left[ x,x,x\right]
u_{2} = \left[ y,y,y\right]
u_{3} = \left[ z,z,z\right]}\)

\(\displaystyle{ w_{1} = u_{1} + u_{2} - u_{3}}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = u_{1} - u_{2} + u_{3}}\)
\(\displaystyle{ w_{3} = u_{3} + u_{2} - u_{1}}\)

\(\displaystyle{ w_{1} = \left[ x,x,x\right] + \left[ y,y,y\right] - \left[ z,z,z\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = \left[ x,x,x\right] - \left[ y,y,y\right] + \left[ z,z,z\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3} = \left[ z,z,z\right] + \left[ y,y,y\right] - \left[ x,x,x\right]}\)

z powyższego wynika, że:
\(\displaystyle{ w_{1} = \left[ x+y-z; x+y-z; x+y-z\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = \left[ x-y+z; x-y+z; x-y+z\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3} = \left[ z+y-x; z+y-x; z+y-x\right]}\)

\(\displaystyle{ a_{1}w_{1} + a_{1}w_{1} + a_{1}w_{1} = \left( 0,0,0\right)}\)
pominę pośrednie wyprowadzenia i przejdę dalej

\(\displaystyle{ x\left( a_{1} + a_{2} - a_{3} \right) + y\left( a_{1} - a_{2} + a_{3}\right) + z\left( a_{3} + a_{2} - a_{1}\right) = 0}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ a_{1} + a_{2} - a_{3} = 0 \wedge a_{1} - a_{2} + a_{3} = 0 \wedge a_{3} + a_{2} - a_{1} = 0}\)
z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ a_{1} = -a_{1} \wedge a_{2} = -a_{2} \wedge a_{3} = -a_{3}}\)

wyszły równania sprzeczne, więc wychodzi na to, że są liniowo niezależne, chyba, że gdzieś się pomyliłem

2. W przestrzeni Euklidesowej \(\displaystyle{ V = R^{4}}\) ze standardowym iloczynem skalarnym określ dla wektorów \(\displaystyle{ w = \left[ 0,1,0,1\right]}\) i \(\displaystyle{ v = \left[ 0,1,1,0\right]}\)
a) długość \(\displaystyle{ \left| w\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| v\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| w\right| = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| v\right| = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}}\)

b) kąt \(\displaystyle{ \alpha = \sphericalangle (w,v)}\)
tutaj korzystając z iloczynu skalarnego wyszło, że \(\displaystyle{ \alpha =60^{0}}\)

c) obliczyć odległość \(\displaystyle{ d\left( w,v\right)}\)
i tutaj nie jestem pewny czy dobrze wyliczyłem bo mi wyszła odległość równa 0

d) Rzut vec{v} na wektor vec{w}
korzystając ze znalezionego wzoru:
\(\displaystyle{ v_{w} = \frac{\left[ 0,1,0,1\right] \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot cos \alpha }{\left| \vec{w} \right| }}\)
podstawiając wartości wyliczone wcześniej:
\(\displaystyle{ v_{w} = \left[ 0, \frac{1}{2},0, \frac{1}{2}\right]}\)

e) i do tego zadania jeszcze muszę zbudować wersor w, ale nie wiem jak się za to zabrać

3. Podaj wektorowe rozwiązanie parametryczne układu:
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} - 3x_{3} - x_{4} = 1}\)
\(\displaystyle{ x_{1} +3x_{2} + x_{3} + 3x_{4} = -1}\)

i tutaj szukałem jakichś informacji i nie udało mi się nic znaleźć i prosiłbym o pomoc

4. Zbuduj bazy podprzestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ w = \left\{ w \in V\right\: w'\left( 1\right)=w\left\{0 \right\} }}\) dla przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V = R_{2}\left[ x\right]}\) . Określ \(\displaystyle{ dim_{R}W}\)

Za to zadanie jeszcze się nie zabrałem więc tutaj prosiłbym o wskazówkę od jakich definicji powinienem zacząć przerabiać ten temat i które będą bardziej przydatne

5. Układ wektorów przestrzeni wektorowej R^{3}:
\(\displaystyle{ u_{1} = \left[ 0,1,1\right]}\); \(\displaystyle{ u_{2} = \left[ -1,2,1\right]}\); \(\displaystyle{ u_{1} = \left[ 0,0,1\right]}\)
przekształcić do bazy ortogonalnej tej przestrzeni korzystając z ortogonalizacji Gramma-Shmidta.

Tutaj znalazłem coś takiego:
... a-Schmidta
ale za bardzo nie wiem jak się zabrać za to mając podane powyższe wektory

6. a) Wyznaczyć macierz przejścia P do bazy \(\displaystyle{ B = \left\{ x+1, x+2, x^{2}+1 \right\}}\) do bazy \(\displaystyle{ B' = \left\{ x^{2}, x, 1 \right\}}\) w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V = R_{2}\left[ x\right]}\)
b) Wyznaczyć nowe współrzędne \(\displaystyle{ w = \left[ 1,-1,1\right]}\)

Za to zadanie również jeszcze się nie zabrałem, więc tutaj ewentualnie drobne wskazówki od czego zacząć i dalej powinienem sobie poradzić, a jak nie to będę dalej się dopytywał w razie niepowodzeń.

Z góry dziękuję za udzielenie porad i wskazówek

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ u_{1} = \left[ x,x,x\right] u_{2} = \left[ y,y,y\right] u_{3} = \left[ z,z,z\right]}\)

A to skąd masz?

[SerapH]

\(\displaystyle{ u_{1} = \left[ x,x,x\right] u_{2} = \left[ y,y,y\right] u_{3} = \left[ z,z,z\right]}\)

A to skąd masz?

w zadaniu nie mam podanych ściśle określonych współrzędnych tylko mam sprawdzić, czy 3 nowo utworzone wektory z trzech dowolnych liniowo niezależnych też takie będą. Więc przyjąłem takie współrzędne i generalnie wychodzi, że są liniowo niezależne, ale mogę się mylić. W takim razie proszę o podpowiedź jakie współrzędne obrać wtedy przeliczę raz jeszcze, i sprawdzę czy mój sposób rozumowania jest właściwy

[miodzio1988]

Ale dlaczego mają wszystkie te współrzędne być takie same? Wytłumacz się ze swojego dowodu

[SerapH]

Ale dlaczego mają wszystkie te współrzędne być takie same? Wytłumacz się ze swojego dowodu

ok mój błąd. Współrzędne nie powinny być takie same. Zmieniłem je na poniższe:

\(\displaystyle{ u_{1} = \left[ x_{1}, y_{1}, z_{1}\right]}\)
\(\displaystyle{ u_{2} = \left[ x_{2}, y_{2}, z_{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ u_{3} = \left[ x_{3}, y_{3}, z_{3}\right]}\)

Generalnie wyszło, iż mój sposób rozumowania jest dobry, gdyż po przeliczeniu wszystkiego jak powyżej z nowymi współrzędnymi, końcowe równania wyszły sprzeczne.
Jeśli się mylę proszę mnie poprawić.-- 28 gru 2010, o 12:56 --Więc niezależność liniowa wektorów jest chyba załatwiona.

A następne zadanie czy ktoś mógłby je sprawdzić pod kątem poprawności rozwiązania?