Punkt styczności okręgu i paraboli - układ równ.z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Fatina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 7 kwie 2010, o 14:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpackie
Podziękował: 3 razy

Punkt styczności okręgu i paraboli - układ równ.z parametrem

Post autor: Fatina »

Dla jakich wartości (rzeczywistych) parametru "m" układ ma dokładnie jedno rozwiązanie?:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=m \\ -x^{2}+y=2 \end{cases}}\)


Pierwsze równanie to będzie okrąg o śroku (0,0) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{m}}\)
Drugie równanie to parabola: \(\displaystyle{ y=x^{2}+2}\).
Jeżeli narysuję sobie tę parabolę to z wykresu można odczytać, że aby było jedno rozwiązanie, to promień okręgu musi wynosić 2. Zatem "m" będzie wynosiło 4. Jeżeli będzie mniejsze, to nie będzie punktów przecięcia (czyli rozwiązań), a jeśli będzie większe, to będzie 2 rozwiązania.

Wszystko pięknie, ale jak dojść do tego nie korzystając z wykresu? I tu się zaczyna mój problem.

Próbowałam dodać stronami równania. Otrzymałam wówczas: \(\displaystyle{ y^{2}+y-(m+2)=0}\)
Obliczyłam deltę, przyrównałam do zera i otrzymałam: \(\displaystyle{ m= \frac{-9}{4}}\)
Skoro chcę otrzymać promień okręgu to m nie może być mniejsze od zera.

Próbowałam "y" wyprowadzone z drugiego równania wstawić do pierwszego, ale doszłam do tego samego.

Proszę o jakieś wskazówki.
miodzio1988

Punkt styczności okręgu i paraboli - układ równ.z parametrem

Post autor: miodzio1988 »

Zauważ, że dla Twojego rozwiązania \(\displaystyle{ m=4}\) ten sam schemat daje nam deltę dodatnią ;]
Fatina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 7 kwie 2010, o 14:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpackie
Podziękował: 3 razy

Punkt styczności okręgu i paraboli - układ równ.z parametrem

Post autor: Fatina »

Rzeczywiście. Udało mi się w końcu dojść do właściwego rozwiązania. Tylko nie jestem pewna, czy wszystko prawidłowo wykonałam:

1. Dodałam stronami oba równania i dostałam j.w. \(\displaystyle{ y^{2}+y-m-2=0}\)
2. Obliczyłam \(\displaystyle{ delta=4m+9}\)(delta oczywiście zawsze będzie >0 bo przecież m>0 - nie wiem jak mogłam to przeoczyć )
3. Obliczyłam pierwiastki:
\(\displaystyle{ y1= \frac{-1- \sqrt{4m+9} }{2}}\)

\(\displaystyle{ y2= \frac{-1+ \sqrt{4m+9} }{2}}\)

4. Wstawiłam y1 do pierwszego równania, dostałam równanie: \(\displaystyle{ 2x^{2}- \sqrt{4m+9}+5=0}\)
i obliczałam znowu deltę, ale tym razem dałam warunek, że delta równa się zero. I wyszło że m=4.
5. Czynność z pkt 4 powtórzyłam dla y2 i dostałam ten sam wynik: m=4.

Czy ktoś mógłby mi potwierdzić, że dobrze zrobiłam to zadanie? Nurtuje mnie czy w punkcie 2 powinnam dać założenie, że delta większa od zera, a wówczas m>-4/9. W ostatecznym podsumowaniu i tak wyjdzie, że m=4, ale formalnie czy powinnam wyraźnie napisać to założenie?
Będę wdzięczna za pomoc.
miodzio1988

Punkt styczności okręgu i paraboli - układ równ.z parametrem

Post autor: miodzio1988 »

Czy ktoś mógłby mi potwierdzić, że dobrze zrobiłam to zadanie? Nurtuje mnie czy w punkcie 2 powinnam dać założenie, że delta większa od zera, a wówczas m>-4/9. W ostatecznym podsumowaniu i tak wyjdzie, że m=4, ale formalnie czy powinnam wyraźnie napisać to założenie?
Tak. Bo wtedy miałabyś pierwiastek kiepsko zdefiniowany (ujemny pierwiastek? Ble)
Fatina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 7 kwie 2010, o 14:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpackie
Podziękował: 3 razy

Punkt styczności okręgu i paraboli - układ równ.z parametrem

Post autor: Fatina »

Miodzio1988, wielkie dzięki za sprawdzenie.
ODPOWIEDZ