Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Hodgson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 19 gru 2010, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 9 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Hodgson »

\(\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{l} (p+1)x + (2-p)=p \\(1-3p)x + (p-1)y=-6\end{array}}\)
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: anna_ »

W pierwszym równaniu nie ma y?


Proponuję liczyć wyznacznikami.
Hodgson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 19 gru 2010, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 9 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Hodgson »

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} (p+1)&(2-p)\\(1-3p)&(p-1)\end{vmatrix}}\) Czy o taki wyznacznik chodzi ? I mam pytanie, czemu napisałaś, że brakuje \(\displaystyle{ y}\) ?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: anna_ »

Sprawdź I równanie w układzie. Jest tam tylko jedna niewiadoma.
Awatar użytkownika
rtuszyns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: rtuszyns »

W zadaniu nie ma wskazane co jest parametrem a jakie są niewiadome. Można jedynie domniemywać, że \(\displaystyle{ x,y}\) to niewiadome a \(\displaystyle{ p}\) jest parametrem.
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Inkwizytor »

rtuszyns pisze:W zadaniu nie ma wskazane co jest parametrem a jakie są niewiadome. Można jedynie domniemywać, że \(\displaystyle{ x,y}\) to niewiadome a \(\displaystyle{ p}\) jest parametrem.
Zatem wyjścia sa dwa:
- albo autor tego zadania lub ktoś na etapie druku popełnił bład nie wskazując co jest parametrem a także nie wstawiając y (jeśli tego igreka tam nie ma byc to ten nawias jest bez sensu)
- albo autor chciał aby rozpatrzeć 3 przypadki dla parametru p, x oraz y. Ale byłoby to pierwsze tego typu zadanie jakie widzę na oczy


bez tego "brakującego" y metoda wyznacznikowa nie ma sensu
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: anna_ »

Zakładałam, że układ ma postać:
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{l} (p+1)x + (2-p)y=p \\(1-3p)x + (p-1)y=-6\end{array}}\)
Hodgson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 19 gru 2010, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 9 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Hodgson »

Chyba rzeczywiscie jest blad w druku. Powinno byc tak jak zaklada nmn.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: anna_ »

No to lektura Kamilekzmc:
95208.htm
i licz wyznacznikami
Hodgson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 19 gru 2010, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 9 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Hodgson »

Obliczam W:
\(\displaystyle{ W=\begin{vmatrix}(p+1)&(2-p)\\(1-3p)&(p-1)\end{vmatrix}=(p+1)(p-1)-(2-p)(1-3p)=\\p^{2}-1-(2-6p-p+3p^{2})=p^{2}-1-3p^{2}+7p-2=-2p^{2}+7p-3}\)

1 rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ W \neq 0}\)
\(\displaystyle{ -2p^{2}+7p-3\neq0\\2p^{2}-7p+3\neq0\\\Delta_{p}=49-24=25\\\sqrt{25}=5\\p_{1}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2} \vee p_{2}=\frac{7+5}{4}=3}\)

Nieskończenie wiele rozwiązań gdy:

\(\displaystyle{ W=0}\), ale \(\displaystyle{ W_{x}\neq0 \vee W_{y}\neq0\\W_{x}=\begin{vmatrix}p&(2-p)\\6&(p-1)\end{vmatrix}=p^{2}-p-12+6p=p^{2}+5p-12\\\Delta_{p_{x}}=25+48=73 \Rightarrow \sqrt{\Delta_{p_{x}}}=\sqrt{73}\\p_{x_{1}}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2} \vee p_{x_{2}}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2}\\ \\ W_{y}=\begin{vmatrix}{p+1)&p\\(1-3p)&6\end{vmatrix}=6p+6-p+3p^{2}=3p^{2}+5p+6\\\\\Delta_{p_{y}}=25-72<0}\)

\(\displaystyle{ 1)}\)Dla\(\displaystyle{ \p_{x_{1}}\neq\frac{-5-\sqrt{73}}{2}\vee\p_{x_{2}}\neq\frac{-5+\sqrt{73}}{2} \Rightarrow W_{x}\neq0}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)Dla\(\displaystyle{ p_{1}=\frac{1}{2}/veep_{2}=3 \Rightarrow W=0}\)

Z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) układ sprzeczny

Proszę o sprawdzenie
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: anna_ »

1 rozwiązanie jest ok

Potem przy liczeniu \(\displaystyle{ W_x}\) i \(\displaystyle{ W_y}\) wstawiłaś \(\displaystyle{ 6}\) zamiast \(\displaystyle{ -6}\)
Hodgson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 19 gru 2010, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 9 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: Hodgson »

Obliczam W:
\(\displaystyle{ W=\begin{vmatrix}(p+1)&(2-p)\\(1-3p)&(p-1)\end{vmatrix}=(p+1)(p-1)-(2-p)(1-3p)=\\p^{2}-1-(2-6p-p+3p^{2})=p^{2}-1-3p^{2}+7p-2=-2p^{2}+7p-3}\)

1 rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ W \neq 0}\)
\(\displaystyle{ -2p^{2}+7p-3\neq0\\2p^{2}-7p+3\neq0\\\Delta_{p}=49-24=25\\\sqrt{25}=5\\p_{1}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2} \vee p_{2}=\frac{7+5}{4}=3}\)

Nieskończenie wiele rozwiązań gdy:

\(\displaystyle{ W=0}\), ale \(\displaystyle{ W_{x}=0 \vee W_{y}\=0\\W_{x}=\begin{vmatrix}p&(2-p)\\-6&(p-1)\end{vmatrix}=p^{2}-p+12-6p=p^{2}-7p+12\\\Delta_{p_{x}}=49-48=1 \Rightarrow \sqrt{\Delta_{p_{x}}}=\sqrt{1}\\p_{x_{1}}=\frac{7-1}{2}=3 \vee p_{x_{2}}=\frac{7+\sqrt{1}}{2}=4\\ \\ W_{y}=\begin{vmatrix}(p+1)&p\\(1-3p)&-6\end{vmatrix}=-6p-6-p+3p^{2}=3p^{2}-7p-6\\\\\Delta_{p_{y}}=49+72=121 \Rightarrow \sqrt\Delta{p_{y}}=11}\)

\(\displaystyle{ 1)}\)Dla\(\displaystyle{ p_{x_{1}}\neq3\vee p_{x_{2}}\neq4 \Rightarrow W_{x}\neq0}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)Dla\(\displaystyle{ p_{1}=\frac{1}{2}\vee p_{2}=3 \Rightarrow W=0}\)

Z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) układ sprzeczny
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru

Post autor: anna_ »

\(\displaystyle{ W=0\\
p=\frac{1}{2} \vee p=3}\)


\(\displaystyle{ W_x=0\\
p=3 \vee p=4}\)


\(\displaystyle{ W_y=0\\
p=- \frac{2}{3} \vee p=3}\)


1 rozwiązanie dla \(\displaystyle{ p \neq \frac{1}{2},p \neq 3}\)

Brak rozwiązań dla \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2},}\)

Nieskończenie wiele dla \(\displaystyle{ p=3}\)
ODPOWIEDZ