Jak rozwiązać taki układ równań?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
esel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 17 gru 2010, o 12:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lublin

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: esel »

A polecenie brzmi: rozwiąż układ równań korzystając ze wzorów Cramera:


\(\displaystyle{ \begin{cases}ax_{1} + x_{2} + ... + x_{n-1} + x_{n} = 1 \\
x_{1} + ax_{2} + ... + x_{n-1} + x_{n} = 1 \\
...\\
x_{1} + x_{2} + ... + ax_{n-1} + x_{n} = 1 \\
x_{1} + x_{2} + ... + x_{n-1} + ax_{n} = 1 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2010, o 12:47 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: bartek118 »

Obliczasz wyznacznik macierzy głównej układu, a potem dla każdej zmiennej odpowiednie wyznaczniki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: »

bartek118 pisze:Obliczasz wyznacznik macierzy głównej układu, a potem dla każdej zmiennej odpowiednie wyznaczniki
Łatwo powiedzieć.

Wyznacznik macierzy:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a&1&1& \cdots & 1\\
1&a&1& \cdots & 1\\
1&1&a& \cdots & 1\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a\end{array} \right]}\)


można obliczyć kolejno - odejmując ostatni wiersz od wierszy od pierwszego do przedostaniego:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 1-a\\
0&a-1&0& \cdots & 1-a\\
0&0&a-1& \cdots & 1-a\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a\end{array} \right]}\)


i dodając kolumny do pierwszej do przedostatniej do kolumny ostatniej:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a+n-1\end{array} \right]}\)


Ostatnia macierz jest już trójkątna, zatem jej wyznacznik to:
\(\displaystyle{ W=(a-1)^{n-1}\cdot (a+n-1)}\)

Licząc wyznaczniki \(\displaystyle{ W_i}\) postępujemy podobnie, ale prościej, to znaczy odejmując \(\displaystyle{ i}\)-ty wiersz od pozostałych i otrzymując macierz:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & 1\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
0&0&0& \cdots & a-1\end{array} \right]}\)


a tu już niełatwo zauważyć, że wyznacznikiem jest \(\displaystyle{ W_i=(a-1)^{n-1}}\)

Ostatecznie zatem:
- dla \(\displaystyle{ a=1}\) układ jest nieoznaczony
- dla \(\displaystyle{ a=1-n}\) układ jest sprzeczny
- dla \(\displaystyle{ a\neq 1,1-n}\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \forall i \ x_i=\frac{1}{a+n-1}}\)

Q.
Ctrene
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 21 lis 2010, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: Ctrene »

Czy wyznacznik\(\displaystyle{ W _{i}}\) to wyznacznik powstały w wyniku zamiany wektora wyrazów wolnych z niewiadomymi?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: »

Ściślej - przez zamianę \(\displaystyle{ i}\)-tej kolumny macierzy \(\displaystyle{ A}\) (czyli tej odpowiadającej niewiadomej \(\displaystyle{ x_i}\)) z kolumną wyrazów wolnych.

Q.
Ctrene
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 21 lis 2010, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: Ctrene »

Gdybym wstawił w każdą kolumnę wektor wyrazów wolnych to zawsze wyznacznik wyjdzie mi taki sam, prawda?-- 19 gru 2010, o 16:51 --\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a+n-1\end{array} \right]}\)

Co za operacje zostały wykonane, żeby dojść do tej postaci, bo jakoś nie rozumiem z opisu
Barnim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 gru 2010, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: skądś

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: Barnim »

Z jakiej racji dokonujecie operacji na kolumnach skoro według metody Gaussa można robić operacje tylko i wyłącznie na wierszach?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: »

Ale tutaj operacje elementarne są używane do obliczania wyznacznika, a przy liczeniu wyznacznika można stosować operacje i na wierszach i na kolumnach (pamiętając przy tym, że niektóre operacje zmieniają wartość wyznacznika).

Q.
Barnim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 gru 2010, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: skądś

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: Barnim »

dobra to teraz mam pytanie skąd wzieło się w ostatnim wierszu \(\displaystyle{ a+n-1}\) . Rozumiem ze dodałeś wszystkie kolumny do ostaniej ? Z czego wynika to n-1? jeżli można prosić to czy mogłbyś tak trosze prościej skąd się ono wzieło . Czy to jest n kolmun minus jedna?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: »

Wskazówka: do liczby \(\displaystyle{ a}\) w ostatnim wierszu dodajemy pewną ilość jedynek. Ile jest tych jedynek?

Q.
Barnim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 gru 2010, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: skądś

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: Barnim »

Dobra już wiem: wszystkich jest n no i oczywiście nie uwzględniamy tego ostatniego więc piszemy n-1.Ale mam jeszcze jedno pytanie: Jak obliczyłeś ten wyznacznik względem i-tego wiersza?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: »

Wskazówka: rozwinięcie Laplace'a według kolejnych wierszy od pierwszego począwszy, aż dojdziesz do tego z samymi jedynkami. To co zostanie na końcu będzie macierzą trójkątną, więc wyznacznik łatwo obliczyć.

Q.
Barnim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 gru 2010, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: skądś

Jak rozwiązać taki układ równań?

Post autor: Barnim »

ok, wszystkiego już doszedłem teraz powiedz jak to jest że dla n-1 układ jest sprzeczny
ODPOWIEDZ