Jak rozwiązać taki układ równań?
Jak rozwiązać taki układ równań?
A polecenie brzmi: rozwiąż układ równań korzystając ze wzorów Cramera:
\(\displaystyle{ \begin{cases}ax_{1} + x_{2} + ... + x_{n-1} + x_{n} = 1 \\
x_{1} + ax_{2} + ... + x_{n-1} + x_{n} = 1 \\
...\\
x_{1} + x_{2} + ... + ax_{n-1} + x_{n} = 1 \\
x_{1} + x_{2} + ... + x_{n-1} + ax_{n} = 1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}ax_{1} + x_{2} + ... + x_{n-1} + x_{n} = 1 \\
x_{1} + ax_{2} + ... + x_{n-1} + x_{n} = 1 \\
...\\
x_{1} + x_{2} + ... + ax_{n-1} + x_{n} = 1 \\
x_{1} + x_{2} + ... + x_{n-1} + ax_{n} = 1 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2010, o 12:47 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Jak rozwiązać taki układ równań?
Łatwo powiedzieć.bartek118 pisze:Obliczasz wyznacznik macierzy głównej układu, a potem dla każdej zmiennej odpowiednie wyznaczniki
Wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a&1&1& \cdots & 1\\
1&a&1& \cdots & 1\\
1&1&a& \cdots & 1\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a\end{array} \right]}\)
można obliczyć kolejno - odejmując ostatni wiersz od wierszy od pierwszego do przedostaniego:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 1-a\\
0&a-1&0& \cdots & 1-a\\
0&0&a-1& \cdots & 1-a\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a\end{array} \right]}\)
i dodając kolumny do pierwszej do przedostatniej do kolumny ostatniej:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a+n-1\end{array} \right]}\)
Ostatnia macierz jest już trójkątna, zatem jej wyznacznik to:
\(\displaystyle{ W=(a-1)^{n-1}\cdot (a+n-1)}\)
Licząc wyznaczniki \(\displaystyle{ W_i}\) postępujemy podobnie, ale prościej, to znaczy odejmując \(\displaystyle{ i}\)-ty wiersz od pozostałych i otrzymując macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & 1\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
0&0&0& \cdots & a-1\end{array} \right]}\)
a tu już niełatwo zauważyć, że wyznacznikiem jest \(\displaystyle{ W_i=(a-1)^{n-1}}\)
Ostatecznie zatem:
- dla \(\displaystyle{ a=1}\) układ jest nieoznaczony
- dla \(\displaystyle{ a=1-n}\) układ jest sprzeczny
- dla \(\displaystyle{ a\neq 1,1-n}\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \forall i \ x_i=\frac{1}{a+n-1}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 21 lis 2010, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Jak rozwiązać taki układ równań?
Czy wyznacznik\(\displaystyle{ W _{i}}\) to wyznacznik powstały w wyniku zamiany wektora wyrazów wolnych z niewiadomymi?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Jak rozwiązać taki układ równań?
Ściślej - przez zamianę \(\displaystyle{ i}\)-tej kolumny macierzy \(\displaystyle{ A}\) (czyli tej odpowiadającej niewiadomej \(\displaystyle{ x_i}\)) z kolumną wyrazów wolnych.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 21 lis 2010, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Jak rozwiązać taki układ równań?
Gdybym wstawił w każdą kolumnę wektor wyrazów wolnych to zawsze wyznacznik wyjdzie mi taki sam, prawda?-- 19 gru 2010, o 16:51 --\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a+n-1\end{array} \right]}\)
Co za operacje zostały wykonane, żeby dojść do tej postaci, bo jakoś nie rozumiem z opisu
a-1&0&0& \cdots & 0\\
0&a-1&0& \cdots & 0\\
0&0&a-1& \cdots & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots\\
1&1&1& \cdots & a+n-1\end{array} \right]}\)
Co za operacje zostały wykonane, żeby dojść do tej postaci, bo jakoś nie rozumiem z opisu
Jak rozwiązać taki układ równań?
Z jakiej racji dokonujecie operacji na kolumnach skoro według metody Gaussa można robić operacje tylko i wyłącznie na wierszach?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Jak rozwiązać taki układ równań?
Ale tutaj operacje elementarne są używane do obliczania wyznacznika, a przy liczeniu wyznacznika można stosować operacje i na wierszach i na kolumnach (pamiętając przy tym, że niektóre operacje zmieniają wartość wyznacznika).
Q.
Q.
Jak rozwiązać taki układ równań?
dobra to teraz mam pytanie skąd wzieło się w ostatnim wierszu \(\displaystyle{ a+n-1}\) . Rozumiem ze dodałeś wszystkie kolumny do ostaniej ? Z czego wynika to n-1? jeżli można prosić to czy mogłbyś tak trosze prościej skąd się ono wzieło . Czy to jest n kolmun minus jedna?
Jak rozwiązać taki układ równań?
Dobra już wiem: wszystkich jest n no i oczywiście nie uwzględniamy tego ostatniego więc piszemy n-1.Ale mam jeszcze jedno pytanie: Jak obliczyłeś ten wyznacznik względem i-tego wiersza?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Jak rozwiązać taki układ równań?
Wskazówka: rozwinięcie Laplace'a według kolejnych wierszy od pierwszego począwszy, aż dojdziesz do tego z samymi jedynkami. To co zostanie na końcu będzie macierzą trójkątną, więc wyznacznik łatwo obliczyć.
Q.
Q.
Jak rozwiązać taki układ równań?
ok, wszystkiego już doszedłem teraz powiedz jak to jest że dla n-1 układ jest sprzeczny